Bernoulliho schéma

Bernoulliho schéma sa používa na výpočet pravdepodobnosti pri opakovanom pokuse. Urobíme sériu nezávislých náhodných pokusov, v ktorých nastáva sledovaný výsledok, náhodný jav $A$, s pravdepodobnosťou $P(A)=p$, $0<p<1$. Pravdepodobnosť, $P_{n}(k)$ toho, že sa v sérii vyskytne náhodný jav $A$ práve k-krát, $k=0,1,2,...,n$ je rovná

$P_{n}(k)={\begin{pmatrix}n\\k\\\end{pmatrix}}p^{k}(1-p)^{n-k}$ , $0\leq k\leq n$

Príklady

Príklad č.1: Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve 4-krát padne číslo 6?

Keďže ide o sériu nezávislých javov (daný hod nezávisí od predchádzajúceho), môžeme použiť Bernoulliho schému. Pravdepodobnosť priaznivého javu je ${\frac {1}{6}}$ a pravdepodobnosť nepriaznivého javu je ${\frac {5}{6}}$. (Pretože môžu padnúť čísla 1,2,3,4 alebo 5.)

$P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{4}({\frac {5}{6}})^{6}=210\cdot {\frac {1}{6^{4}}}\cdot {\frac {5^{6}}{6^{6}}}={\frac {210\cdot 5^{6}}{6^{10}}}\doteq 0,05$

Teda pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne práve 4-krát číslo $6$ je $5\%$.

Príklad č.2: Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň 4-krát padne číslo $6$? V tomto prípade sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že padne číslo $6$ aspoň $4$ krát, teda vlastne sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že číslo $6$ padne 4-krát, alebo 5-krát, alebo 6-krát, alebo 7-krát, alebo 8-krát, alebo 9-krát, alebo 10-krát?

$P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{4}({\frac {5}{6}})^{6}+{\begin{pmatrix}10\\5\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{5}({\frac {5}{6}})^{5}+{\begin{pmatrix}10\\6\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{6}({\frac {5}{6}})^{4}+{\begin{pmatrix}10\\7\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{7}({\frac {5}{6}})^{3}+{\begin{pmatrix}10\\8\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{8}({\frac {5}{6}})^{2}+{\begin{pmatrix}10\\9\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{9}({\frac {5}{6}})+{\begin{pmatrix}10\\10\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{10}\doteq 0,07$

Pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne aspoň 4-krát číslo $6$ je $7\%$.

Príklad č.3: Hádžeme hracou kockou 3-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve raz padne číslo $3$?

$P(A)={\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}}({\frac {1}{6}})^{1}({\frac {5}{6}})^{2}={\frac {25}{72}}\doteq 0,347$

Pravdepodobnosť, že z $3$ hodov hracou kockou padne práve raz číslo $3$ je $34,7\%$.

Príklad č.4: Strelec trafí cieľ s pravdepodobnosťou $0,7$ pričom vystrelil $10$ krát. Aká je pravdepodobnosť, že trafil ciel práve 4-krát?

$P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}}(0,7)^{4}(0,3)^{6}=0,036$

Pravdepodobnosť, že z $10$ výstrelov trafí práve 4-krát cieľ je $3,6\%$.

Príklad č.5: Na teste v autoškole je $30$ otázok z ktorých v každej z nich sú na výber $3$ odpovede, pričom správna je vždy len jedna. Uchádzač o vodičský preukaz uspeje, ak označí správne aspoň $27$ otázok. Je takéto testovanie spoľahlivé ?

Aspoň $27$ znamená $27$ alebo $28$ alebo $29$ alebo $30$.

$P(A)={\begin{pmatrix}30\\3\\\end{pmatrix}}({\frac {2}{3}})^{3}({\frac {1}{3}})^{27}+{\begin{pmatrix}30\\2\\\end{pmatrix}}({\frac {2}{3}})^{2}({\frac {1}{3}})^{28}+{\begin{pmatrix}30\\1\\\end{pmatrix}}({\frac {2}{3}})^{1}({\frac {1}{3}})^{29}+{\begin{pmatrix}30\\0\\\end{pmatrix}}({\frac {2}{3}})^{0}({\frac {1}{3}})^{30}\doteq 0$

Ak by uchádzač prišiel na test nepripravený a náhodne by vyberal otázky, pravdepodobnosť, že si tipne aspoň $27$ otázok správne je prakticky nulová, teda test je spoľahlivý.

Pozri aj

• Problém náhrdelníka
• Problém šatniarky