z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
D'Alembertov operátor alebo d'Alembertián je diferenciálny operátor nazvaný podľa Jeana Le Rond d'Alemberta. Je to špeciálny prípad Laplaceovho operátora pre štvorrrozmerný Minkowského priestor s metrikou
. Značí sa symbolom
. Využíva sa v špeciálnej teórii relativity a elektromagnetizme.
d'Alembertov operátor v karteziánskych súradniciach je rovný
![{\displaystyle \square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{1})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{2})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{3})^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{0})^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3619993332af7b81f05256c6fb64ffea0313c2f)
alebo špeciálne pri použití súradníc (t,x,y,z)
![{\displaystyle \square f=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f51b2412462762059116f7ea8e05c448a06169)
V látkovom prostredí sa niekedy používa definícia
![{\displaystyle \square f=\Delta f-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}}=\Delta f-{\frac {N^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9502b4bde5cb410f48043326708d523170db5ee9)
kde
sú magnetická permeabilita a elektrická permitivita daného materiálu a N je jeho index lomu.