Distribučná funkcia (štatistika)

Distribučná funkcia alebo funkcia rozdelenia (pravdepodobností) alebo (skôr ľudovo) (zľava) kumulovaná pravdepodobnosť je funkcia, ktorá udáva pravdepodobnosť, že je hodnota náhodnej premennej menšia ako (alebo menšia rovná ako) zadaná hodnota.

Jednoznačne určuje rozdelenie pravdepodobnosti a v spojitom prípade je úzko spätá s funkciou hustoty pravdepodobnosti.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná z určitého rozdelenia a $x$ je ľubovoľné reálne číslo. Potom funkciu $F:\mathbb {R} \to \langle 0,1\rangle$ definovanú predpisom

$F(x)=\mathrm {Pr} [X\leq x]$

nazývame distribučná funkcia tohto rozdelenia. V prípade, že $X$ je spojitá náhodná premenná s hustotou $f$, potom platí:

$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(x)\,\mathrm {d} x$

Vlastnosti distribučnej funkcie

Opis	Matematická formulácia
Distribučná funkcia je zľava spojitá	$\lim _{x\to \alpha ^{-}}F(x)=F(\alpha )$
Distribučná funkcia je neklesajúca	$\alpha <\beta \Rightarrow F(\alpha )\leq F(\beta )$
Asymptotické vlastnosti	$\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$ $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$
Pre ľubovoľnú dvojicu $\alpha ,\beta$ platí	$\mathrm {Pr} [\alpha <x\leq \beta ]=F(\beta )-F(\alpha )$

Príklady

V nasledovnej tabuľke sú uvedené príklady distribučných funkcií. Nie vždy ju možno vyjadriť explicitným vzorcom, ako je to u normálneho rozdelenia. V tomto prípade sa používa priamo definícia distribučnej funkcie v spojitom prípade ako funkcia hornej hranice.

Rozdelenie	Distribučná funkcia
Rovnomerné rozdelenie na intervale $[\alpha ,\beta ]$	$F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&x<\alpha \\{\frac {x-\alpha }{\beta -\alpha }}&x\in [\alpha ,\beta ]\\1&x>\beta \end{array}}\right.$
Normálne rozdelenie	$F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int \limits _{-\infty }^{x}\exp \left\{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right\}$
Exponenciálne rozdelenie	$F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&x<0\\1-\exp\{-\lambda x\}&x\geq 0\end{array}}\right.$