Zobrazenie zdroja stránky Grupa (matematika)

{{Bez zdroja}}
'''Grupa''' je jednou zo základných [[algebraická štruktúra|algebraických štruktúr]]. V sekcii „Definícia“ možno nájsť formálnu definíciu grupy. Sekcia „Základné vysvetlenie“ podáva informácie o motivácii k štúdiu grúp aj pre laika.

== Základné vysvetlenie ==
Všimnime si napríklad množinu všetkých [[celé číslo|celých čísel]], teda čísel ako sú -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia [[sčítanie]]. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandardné sčítanie niekoľko vlastností:
# Sčítanie je na celých číslach [[asociatívna operácia]]. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
# Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje [[neutrálny prvok]], ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo [[nula|0]]. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
# Ku každému celému číslu existuje [[opačné číslo]]. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).<br />''Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x<sup>-1</sup>. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.''

Tieto 3 vlastnosti, teda asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a inverzných prvkov sú v matematike veľmi časté. Preto je užitočné študovať ich spoločné vlastnosti a vzťahy s inými štruktúrami. Pre podobné dvojice množín a operácií sa prijal spoločný názov ''grupa''.

=== Základné príklady ===
* Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti spĺňajú.
* Množina {... 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625, ...} a operácia násobenia tieto vlastnosti spĺňajú (číslo 1 je neutrálny prvok a napríklad k číslu 125 existuje opačné číslo: 1/125).
* Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje neutrálny prvok.
* Množina {... ,-12, -9, -6, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje opačné číslo k číslu 3.

== Definícia ==
: ''Nasledujúca definícia formalizuje závery zo sekcie „Základné vysvetlenie“''
''Grupa'' (''G'', <math>\circ</math>) je [[usporiadaná dvojica]], kde ''G'' je neprázdna [[množina]] a <math>\circ</math> je [[binárna operácia]] na tejto množine, pričom
* operácia <math>\circ</math> je na ''G'' [[asociatívna operácia|asociatívna]], t. j. <math>\forall a,b,c \in G: a \circ (b\circ c) = (a\circ b)\circ c</math>,
* existuje tzv. [[neutrálny prvok]] <math>e \in G</math> s vlastnosťou <math>\forall a \in G: a\circ e=a=e\circ a</math>,
* ku každému prvku <math>a\in G</math> existuje [[inverzný prvok]] <math>b\in G</math> taký, že <math>a\circ b = e = b \circ a</math>.

Ak je binárna operácia <math>\circ</math> navyše [[komutatívna operácia|komutatívna]], tak hovoríme o [[komutatívna grupa|''komutatívnej'']] alebo [[abelovská grupa|''abelovskej'' grupe]].

== Ďalšie vlastnosti ==
* V grupe platia [[zákony o krátení]]:

<math>\forall a,b,c \in G: a \circ b = a \circ c \Rightarrow b = c</math>

<math>\forall a,b,c \in G: a \circ c = b \circ c \Rightarrow a = b</math>

* V grupe majú riešenie všetky rovnice typu

<math> a \circ x = b </math>

<math> y \circ a = b </math>

pre všetky <math> a, b \in G </math>

== Podgrupy ==
Grupa <math>(H,\ast)</math> sa nazýva [[podgrupa|podgrupou]] grupy <math>(G,\circ)</math>, ak <math>H</math> je podmnožinou <math>G</math> a platí <math>\forall a,b \in H: a\ast b = a\circ b</math>.

Neprázdna podmnožina ''H'' grupy <math>(G,\circ)</math> tvorí podgrupu, ak je uzavretá na binárnu operáciu a aj na tvorbu inverzných prvkov, t.j.
* Pre ľubovoľné <math>a,b\in H</math> platí <math>a\circ b\in H</math>.
* Pre ľubovoľné <math>a\in H</math> platí <math>a^{-1}\in H</math>.

Ak ''H'' je konečná množina, tak stačí uzavretosť na binárnu operáciu.<ref>{{Harvbz|Dummit|Foote|2001|Pr=Proposition 2.1|St=46}}</ref>

== Ďalšie príklady ==
* množina celých čísel <math>\mathbb{Z}</math> s klasickou operáciou sčítania + tvorí grupu <math>(\mathbb{Z},+)</math>, ktorú nazývame aj ''aditívna grupa celých čísel'',
* množina racionálnych čísel okrem čísla 0 s operáciou násobenia <math>\cdot</math> tvorí grupu <math>(\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot)</math>, ktorej sa hovorí aj ''multiplikatívna grupa racionálnych čísel'',
* všeobecnejšie, pre ľubovoľné [[pole (algebra)|pole]] ''F'' je množina <math>F\setminus\{0\}</math> s operáciou násobenia grupou. (Je to ''multiplikatívna grupa'' poľa ''F''.)
* dôležitou triedou grúp sú predovšetkým v [[informatika|informatike]] v [[teória šifrovania|teórii šifrovania]] tzv. [[grupa zvyškových tried|grupy zvyškových tried]] <math>\mathbb{Z}_n</math> s operáciou <math>\oplus</math> a <math>\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}</math> s operáciou <math>\otimes</math> (ak ''n'' je prvočíslo),
* ústrednú úlohu pri štúdiu grúp hrá grupa všetkých [[bijekcia|bijekcií]] nejakej množiny na tú istú množinu s operáciou [[skladanie zobrazení|skladania zobrazení]] označovaná ako [[grupa transformácií]] a jej špeciálne varianty [[grupa permutácií]] a [[alternujúca grupa]] ([[Cayleyho veta]] vraví, že každá grupa je izomorfná s nejakou [[grupa transformácií|grupou transformácií]]),
* všetky binárne bijektívne funkcie (zobrazenia) n prvkovej množiny s operáciou skladania permutácií vytvárajú grupu, ktorá sa nazýva ''symetrická grupa'' rádu n! (n faktoriál)

== Externé odkazy ==
* [http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf  Teória grúp] 

==Literatúra==
* {{_Citácia knihy|priezvisko=Dummit|meno=Richard M.|priezvisko2=Foote|meno2=David S.|titul=Abstract algebra|miesto=Bratislava|vydavateľ=John Wiley and Sons, Inc.|rok=2004 | vydanie=3}}
* {{_Citácia knihy|priezvisko=Katriňák|meno=Tibor|priezvisko2=Gavalec|meno2=Martin|priezvisko3=Gedeonová|meno3=Eva|priezvisko4=Smítal|meno4=Jaroslav|titul=Algebra a teoretická aritmetika (1)|miesto=Bratislava|vydavateľ=Alfa|rok=1985}}

== Referencie ==
{{Referencie}}

[[Kategória:Algebrické štruktúry]]
[[Kategória:Teória grúp]]
[[Kategória:Symetria]]