Hromadný bod

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Hromadný bod množiny M je bod, v okolí ktorého sa hromadí nekonečne veľa bodov množiny M. Podstata hromadného bodu nachádza svoj zmysel pri definovaní spojitých štruktúr. Príkladom môže byť limita a derivácia, ktoré vo svojej definícií obsahujú pojem hromadného bodu, v ktorého okolí má zmysel uvažovať proces približovania sa k určitej hodnote.

Definícia hromadného bodu[upraviť | upraviť zdroj]

Nech . Hovoríme, že je hromadný bod množiny práve vtedy, keď pre každé jeho prstencové okolie existuje bod s vlastnosťou a zároveň .

Definíciu možno chápať tak, že v ľubovoľne malom okolí hromadného bodu, vždy existujú body množiny M. V samotnej definícii limity sa pod zápisom myslí, že bod a je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Problém by mohol nastať v prípade, že bod a by nebol hromadným bodom definičného oboru funkcie. V tomto prípade by bolo nezmyselné definovať proces približovania k nejakej hodnote, pre ktorú funkcia nie je definovaná.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Možno dokázať, že množina má hromadný bod . Stačí podľa definície zvoliť prstencové okolie bodu 0, . Dokážeme, že pre ľubovoľne malé existuje prvok s vlastnosťami podľa definície. Majú platiť nasledovné nerovnosti

Keďže množina je obmedzená pre prirodzené čísla, stačí písať jednu nerovnosť

Jednoduchou úvahou možno zistiť, že

Preto stačí zvoliť vyhovujúci bod

Týmto spôsobom sa našlo vyhovujúce , ktoré leží v ľubovoľnom okolí bodu 0 a zároveň nie je rovné 0.