Kovariančná matica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Kovariančná matica (iné názvy: variančná matica, variančno-kovariančná matica) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu medzi i-tym a j-tym prvkom náhodného vektora.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme p-rozmerný náhodný vektor . Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných , kde , platí, že sú konečné, teda: . Potom symetrická matica rozmeru , ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu prvkov a , teda číslo , pre , sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora .

Predchádzajú definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora označíme symbolom , teda:

Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí:

Matica bude potom vyzerať nasledovne:

Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:

Označenie[upraviť | upraviť zdroj]

Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma (príp. ) alebo .

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:

a

  • Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných .
  • Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:
  • Majme maticu , ktorá má rozmery a k-rozmerný náhodný vektor . Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora definovaného nasledovným vzťahom:

platí, že:

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344.
  • ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288.
  • FILOVÁ, Lenka. Náhodné vektory [online]. [Cit. 2012-09-05]. Dostupné online.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Covariance matrix na anglickej Wikipédii.