Kovariančná matica

Kovariančná matica (iné názvy: variančná matica, variančno-kovariančná matica) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu medzi i-tym a j-tym prvkom náhodného vektora.

Definícia

Majme p-rozmerný náhodný vektor ${\mathbf {X} }=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{p})^{T}$. Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných $X_{k}$, kde $k=1,\cdots ,p$, platí, že sú konečné, teda: $D(X_{k})<\infty$. Potom symetrická matica rozmeru $p\times p$, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu prvkov $X_{i}$ a $X_{j}$, teda číslo $cov(X_{i},X_{j})$, pre $i,j=1,2,\cdots ,p$, sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora ${\mathbf {X} }$.

Predchádzajúcu definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora ${\mathbf {X} }$ označíme symbolom $\Sigma _{ij}$, teda:

$\Sigma _{ij}=\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)=\operatorname {E} [(X_{i}-E[X_{i}])(X_{j}-E[X_{j}])]$

Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí:

$\operatorname {cov} (X_{i},X_{i})=\operatorname {var} (X_{i})$

Matica bude potom vyzerať nasledovne:

${\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }&={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}&\cdots &\Sigma _{1p}\\\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}&\cdots &\Sigma _{2p}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\Sigma _{p1}&\Sigma _{p2}&\cdots &\Sigma _{pp}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [(X_{1}-E[X_{1}])(X_{1}-E[X_{1}])]&\operatorname {E} [(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X_{1}-E[X_{1}])(X_{p}-E[X_{p}])]\\\\\operatorname {E} [(X_{2}-E[X_{2}])(X_{1}-E[X_{1}])]&\operatorname {E} [(X_{2}-E[X_{2}])(X_{2}-E[X_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X_{2}-E[X_{2}])(X_{p}-E[X_{p}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [(X_{p}-E[X_{p}])(X_{1}-E[X_{1}])]&\operatorname {E} [(X_{p}-E[X_{p}])(X_{2}-E[X_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X_{p}-E[X_{p}])(X_{p}-E[X_{p}])]\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:

${\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }&={\begin{bmatrix}\operatorname {var} \left(X_{1}\right)&\operatorname {cov} \left(X_{1},X_{2}\right)&\cdots &\operatorname {cov} \left(X_{1},X_{p}\right)\\\\\operatorname {cov} \left(X_{2},X_{1}\right)&\operatorname {var} \left(X_{2}\right)&\cdots &\operatorname {cov} \left(X_{2},X_{p}\right)\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {cov} \left(X_{p},X_{1}\right)&\operatorname {cov} \left(X_{p},X_{2}\right)&\cdots &\operatorname {var} \left(X_{p}\right)\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

Označenie

Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma ${\mathbf {\Sigma } }$ (príp. ${\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {X} })$) alebo ${\mathcal {D}}({\mathbf {X} })$.

Vlastnosti

Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:

${\mathbf {\Sigma } }=\mathrm {E} \left[\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)^{\rm {T}}\right]$

a

$\mu =\mathrm {E} ({\textbf {X}})$

• Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných $X_{1},\cdots ,X_{p}$.

• Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:

$\Sigma =\mathrm {E} (\mathbf {XX^{\rm {T}}} )-\mathbf {\mu } \mathbf {\mu ^{\rm {T}}}$

• Majme maticu ${\mathbf {A} }$, ktorá má rozmery $k\times p$ a k-rozmerný náhodný vektor ${\mathbf {B} }$. Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora ${\mathbf {Y} }$ definovaného nasledovným vzťahom:

${\mathbf {Y} }={\mathbf {A} }{\mathbf {X} }+{\mathbf {B} }$

platí, že:

${\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {Y} })={\mathbf {A} }{\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {X} }){\mathbf {A} }^{T}$

Zdroj

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344.
• ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288.
• FILOVÁ, Lenka. Náhodné vektory [online]. [Cit. 2012-09-05]. Dostupné online.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Covariance matrix na anglickej Wikipédii.