z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Kovariančná matica (iné názvy: variančná matica , variančno-kovariančná matica ) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica , ktorá má na priesečníku i -teho riadku a j -teho stĺpca kovarianciu medzi i -tym a j -tym prvkom náhodného vektora .
Majme p -rozmerný náhodný vektor
X
=
(
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
p
)
T
{\displaystyle {\mathbf {X} }=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{p})^{T}}
. Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných
X
k
{\displaystyle X_{k}}
, kde
k
=
1
,
⋯
,
p
{\displaystyle k=1,\cdots ,p}
, platí, že sú konečné, teda:
D
(
X
k
)
<
∞
{\displaystyle D(X_{k})<\infty }
. Potom symetrická matica rozmeru
p
×
p
{\displaystyle p\times p}
, ktorá má na priesečníku i -teho riadku a j -teho stĺpca kovarianciu prvkov
X
i
{\displaystyle X_{i}}
a
X
j
{\displaystyle X_{j}}
, teda číslo
c
o
v
(
X
i
,
X
j
)
{\displaystyle cov(X_{i},X_{j})}
, pre
i
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
p
{\displaystyle i,j=1,2,\cdots ,p}
, sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora
X
{\displaystyle {\mathbf {X} }}
.
Predchádzajúcu definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora
X
{\displaystyle {\mathbf {X} }}
označíme symbolom
Σ
i
j
{\displaystyle \Sigma _{ij}}
, teda:
Σ
i
j
=
cov
(
X
i
,
X
j
)
=
E
[
(
X
i
−
E
[
X
i
]
)
(
X
j
−
E
[
X
j
]
)
]
{\displaystyle \Sigma _{ij}=\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)=\operatorname {E} [(X_{i}-E[X_{i}])(X_{j}-E[X_{j}])]}
Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí:
cov
(
X
i
,
X
i
)
=
var
(
X
i
)
{\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{i})=\operatorname {var} (X_{i})}
Matica bude potom vyzerať nasledovne:
Σ
=
[
Σ
11
Σ
12
⋯
Σ
1
p
Σ
21
Σ
22
⋯
Σ
2
p
⋮
⋮
⋱
⋮
Σ
p
1
Σ
p
2
⋯
Σ
p
p
]
=
[
E
[
(
X
1
−
E
[
X
1
]
)
(
X
1
−
E
[
X
1
]
)
]
E
[
(
X
1
−
E
[
X
1
]
)
(
X
2
−
E
[
X
2
]
)
]
⋯
E
[
(
X
1
−
E
[
X
1
]
)
(
X
p
−
E
[
X
p
]
)
]
E
[
(
X
2
−
E
[
X
2
]
)
(
X
1
−
E
[
X
1
]
)
]
E
[
(
X
2
−
E
[
X
2
]
)
(
X
2
−
E
[
X
2
]
)
]
⋯
E
[
(
X
2
−
E
[
X
2
]
)
(
X
p
−
E
[
X
p
]
)
]
⋮
⋮
⋱
⋮
E
[
(
X
p
−
E
[
X
p
]
)
(
X
1
−
E
[
X
1
]
)
]
E
[
(
X
p
−
E
[
X
p
]
)
(
X
2
−
E
[
X
2
]
)
]
⋯
E
[
(
X
p
−
E
[
X
p
]
)
(
X
p
−
E
[
X
p
]
)
]
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }&={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}&\cdots &\Sigma _{1p}\\\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}&\cdots &\Sigma _{2p}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\Sigma _{p1}&\Sigma _{p2}&\cdots &\Sigma _{pp}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [(X_{1}-E[X_{1}])(X_{1}-E[X_{1}])]&\operatorname {E} [(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X_{1}-E[X_{1}])(X_{p}-E[X_{p}])]\\\\\operatorname {E} [(X_{2}-E[X_{2}])(X_{1}-E[X_{1}])]&\operatorname {E} [(X_{2}-E[X_{2}])(X_{2}-E[X_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X_{2}-E[X_{2}])(X_{p}-E[X_{p}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [(X_{p}-E[X_{p}])(X_{1}-E[X_{1}])]&\operatorname {E} [(X_{p}-E[X_{p}])(X_{2}-E[X_{2}])]&\cdots &\operatorname {E} [(X_{p}-E[X_{p}])(X_{p}-E[X_{p}])]\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:
Σ
=
[
var
(
X
1
)
cov
(
X
1
,
X
2
)
⋯
cov
(
X
1
,
X
p
)
cov
(
X
2
,
X
1
)
var
(
X
2
)
⋯
cov
(
X
2
,
X
p
)
⋮
⋮
⋱
⋮
cov
(
X
p
,
X
1
)
cov
(
X
p
,
X
2
)
⋯
var
(
X
p
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }&={\begin{bmatrix}\operatorname {var} \left(X_{1}\right)&\operatorname {cov} \left(X_{1},X_{2}\right)&\cdots &\operatorname {cov} \left(X_{1},X_{p}\right)\\\\\operatorname {cov} \left(X_{2},X_{1}\right)&\operatorname {var} \left(X_{2}\right)&\cdots &\operatorname {cov} \left(X_{2},X_{p}\right)\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {cov} \left(X_{p},X_{1}\right)&\operatorname {cov} \left(X_{p},X_{2}\right)&\cdots &\operatorname {var} \left(X_{p}\right)\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma
Σ
{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}
(príp.
Σ
(
X
)
{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {X} })}
) alebo
D
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}({\mathbf {X} })}
.
Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:
Σ
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
(
X
−
E
[
X
]
)
T
]
{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }=\mathrm {E} \left[\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)^{\rm {T}}\right]}
a
μ
=
E
(
X
)
{\displaystyle \mu =\mathrm {E} ({\textbf {X}})}
Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných
X
1
,
⋯
,
X
p
{\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{p}}
.
Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:
Σ
=
E
(
X
X
T
)
−
μ
μ
T
{\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\mathbf {XX^{\rm {T}}} )-\mathbf {\mu } \mathbf {\mu ^{\rm {T}}} }
Majme maticu
A
{\displaystyle {\mathbf {A} }}
, ktorá má rozmery
k
×
p
{\displaystyle k\times p}
a k -rozmerný náhodný vektor
B
{\displaystyle {\mathbf {B} }}
. Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora
Y
{\displaystyle {\mathbf {Y} }}
definovaného nasledovným vzťahom:
Y
=
A
X
+
B
{\displaystyle {\mathbf {Y} }={\mathbf {A} }{\mathbf {X} }+{\mathbf {B} }}
platí, že:
Σ
(
Y
)
=
A
Σ
(
X
)
A
T
{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {Y} })={\mathbf {A} }{\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {X} }){\mathbf {A} }^{T}}
LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy . Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2 . Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344.
ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch . Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9 . Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288.
FILOVÁ, Lenka. Náhodné vektory [online]. [Cit. 2012-09-05]. Dostupné online.
JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika . Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6 . Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.
Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Covariance matrix na anglickej Wikipédii.