Matematická indukcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Matematická indukcia je metóda dokazovania matematických viet a tvrdení, ktorá sa používa, ak chceme ukázať, že dané tvrdenie platí pre všetky prirodzené čísla, prípadne inú, dopredu danú nekonečnú postupnosť.

Typický dôkaz indukciou sa skladá z dvoch krokov:

  1. Báza: Ukážeme, že tvrdenie platí pre najmenšie číslo z postupnosti.
  2. Indukčný krok: Ukážeme, že ak tvrdenie platí pre n = m, tak platí aj pre n = m + 1 (Časť nasledujúca bezprostredne po ak sa niekedy nazýva indukčný predpoklad).

Tento postup sa niekedy prirovnáva k dominu. Obidve tieto časti sú totiž podobné dominovému efektu:

  1. Spadne prvá kocka domina
  2. Ak spadne nejaká kocka domina, spadne aj jej najbližší sused.

Výsledkom potom je, že spadnú všetky kocky.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Majme nasledujúce tvrdenie:

pre všetky prirodzené čísla n. Dôkaz pravdivosti tohto tvrdenia je uvedený v nasledujúcej podkapitole.

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Báza:

Najskôr skontrolujeme, či toto tvrdenie platí pre n = 0. Zrejme áno, pretože súčet prvých 0 prirodzených čísel je 0 a 0(0 + 1)/2=0.


Indukčný krok:

Teraz chceme ukázať, že pokiaľ toto tvrdenie platí pre n = m, platí aj pre n = m + 1.

Predpokladajme teda, že pre n = m tvrdenie platí, čiže

Pridaním m + 1 k obidvom stranám rovnice dostaneme

čo sa rovná

a máme teda

Toto je tvrdenie pre n = m + 1. Dokázali sme, že je pravdivé, pokiaľ je pravdivé tvrdenie pre n = m.

Tvrdenie teda platí pre všetky prirodzené čísla, pretože

  1. Platí pre 0.
  2. Ak platí pre 0, platí aj pre 1
  3. Ak platí pre 1, platí aj pre 2
  4. Ak platí pre 2, platí aj pre 3
  5. ...

Všetky kone majú rovnakú farbu[upraviť | upraviť zdroj]

Všetky kone majú rovnakú farbu je paradox, ktorý vznikne z nesprávneho použitia matematickej indukcie. Bol predstavený maďarským matematikom George Pólya[1]. Ukazuje na chyby, čo môžu nastať pri dôkazoch matematickou indukciou.

Argument[upraviť | upraviť zdroj]

Chceme dokázať, že všetky kone majú rovnakú farbu.

Báza:

Pre to zjavne platí. Ak máme v skupine jedného koňa, tak má celá skupina rovnakú farbu a to farbu toho jednáho koňa.


Indukčný krok:

Predpokladáme, že výrok platí pre koní a chceme ho dokázať pre koní. Kone si očíslujeme , kde farba i-teho koňa je . Pozrieme sa na farbu prvých koní . Podľa indukčného predpokladu môžeme usúdiť, že sú všetky rovnakej farby. Teraz sa pozrieme na farbu koní . Tých koní je , takže znova použijeme indukčný predpoklad a môžeme povedať, že aj tie sú všetky rovnakej farby. Keďže vieme, že a zároveň aj , môžeme povedať, že . Teraz sme dokázali, že ak výrok platí pre tak platí pre .

Výrok platí pre .

Výrok platí pre všetky kladné celé čísla.

Každá podmnožina koní má navzájom rovnakú farbu.

Koní je konečný počet.

Všetky kone majú rovnakú farbu.

Vysvetlenie[upraviť | upraviť zdroj]

V indukčnom kroku (od do ) sa predpokladá, že . Indukcia by platila iba keby bola báza dokázaná pre že

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. PÓLYA, George (1954). Induction and Analogy in Mathematics.