Primitívna funkcia

Funkciu $F(x)$ nazývame primitívna funkcia k funkcii $f(x)$ na intervale $(a,b)$, ak pre každé $x\in (a,b)$ platí:

$$F'(x)=f(x)$$

Príklady

Funkcia $F(x)=x^{3}$ je primitívna funkcia k funkcii $f(x)=3x^{2}$ v množine ${\mathbb {R} }$, lebo v ${\mathbb {R} }$ platí:

$F'(x)=(x^{3})'=3x^{2}=f(x)$

Funkcia $F(x)=\sin x$ je primitívna funkcia k funkcii $f(x)=\cos x$ v množine ${\mathbb {R} }$, lebo v ${\mathbb {R} }$ platí:

$F'(x)=(\sin x)'=\cos x=f(x)$

Funkcia $F(x)=-\cos x$ je primitívna funkcia k funkcii $f(x)=\sin x$ v množine ${\mathbb {R} }$, lebo v ${\mathbb {R} }$ platí:

$F'(x)=(-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x=f(x)$

Veta

Ak je funkcia $F(x)$ primitívna funkcia k funkcii $f(x)$, potom každá ďalšia primitívna funkcia k funkcii $f(x)$ má tvar $F(x)+c$, kde $c$ je reálna konštanta.

Dôkaz: Nech sú funkcie $F(x)$ a $G(x)$ primitivne funkcie k funkcii $f(x)$, platí:

$$F'(x)=f(x)\ \ a\ \ G'(x)=f(x)$$

Ak vykonáme rozdiel $G'(x)$ s $F'(x)$ tak získame:

$$G'(x)-F'(x)=0$$

Keďže derivácia je lineárnym operátorom, môžeme ju "vyňať" pred zátvorku, a tak získať:

$$(G(x)-F(x))'=0$$

Pre všetky $x\in (a,b)$. Jediná funkcia, ktorá spĺňa požiadavku vždy-nulovej derivácie na nejakom danom neprázdnom intervale je konštantá funkcia, preto musí platiť:

$$G(x)-F(x)=c$$

A teda je zrejmé:

$$G(x)=F(x)+c$$

Kde $c$ je reálne čislo.

Zdroj

• http://www.mlynarcikova-gpohkk.yw.sk/funkcie/primitivna_fu.html Archivované 2017-02-11 na Wayback Machine