Rozptyl (štatistika)
Rozptyl (iné názvy: variancia, disperzia, stredná kvadratická odchýlka, stredná kvadratická fluktuácia) je najčastejšie používaná miera variability.
Hodnota rozptylu je závislá od odchýlky štatistiky od priemeru. Ak chápeme štatistický súbor ako realizáciu náhodného výberu z určitého rozdelenia, potom rozptyl určuje strednú kvadratickú odchýlku jednotlivých nameraných hodnôt od výberového priemeru.
Definícia
[upraviť | upraviť zdroj]Nech je náhodná premenná, ktorá nadobúda konečne alebo spočítateľne veľa hodnôt. Potom definujeme rozptyl ako
- .
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}-\mathrm {E} [X])^{2}\cdot \mathrm {Pr} [X=x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cec342e4c34966076d9a7c6777e94c1ced3bcaf)
Ďalším často používaným vzťahom na výpočet rozptylu je
- ,
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9dff486f2395c99829272458c2e8d2afe31905)
ku ktorému môžeme prísť odvodením zo základného vzťahu. Ak je každý výsledok rovnako pravdepodobný a je ich konečne veľa, uvedený vzťah možno prepísať do tvaru
- .
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\mathrm {E} [X])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7a07314143a5993333da64b6f63cca9d1439c7)
Ak uvažujeme náhodnú premennú , ktorá nadobúda nekonečne veľa, resp. nespočítateľne veľa hodnôt, teda je spojitá, používame na výpočet variancie vzťah
- ,
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x-\mathrm {E} [X])^{2}f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6338cfc25951cb600d75a6323d3b3425f6131784)
kde je funkcia hustoty pravdepodobnosti príslušného rozdelenia.
Vlastnosti rozptylu
[upraviť | upraviť zdroj]- Rozptyl má aditívnu vlastnosť len v prípade, že náhodné premenné v jeho argumente sú nezávislé.
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X+Y]=\mathrm {Var} [X]+\mathrm {Var} [Y]+2\mathrm {Cov} [X,Y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082a6714e3527bd09455156ff12bb3e7903dc7aa)
- Pri transformácii náhodnej premennej , kde je konštanta platí
![{\displaystyle \mathrm {Var} [\alpha X]=\alpha ^{2}\mathrm {Var} [X]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dedb10927f583c19bf34c8a1471b35c73d342c2)
- Rozptyl môžeme prepísať z definičného tvaru do nasledovného, z ktorého je jasné, že ide o strednú hodnotu istej transformácie pôvodnej náhodnej premennej
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\mathrm {E} \left[(X-\mathrm {E} [X])^{2}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c238da8f445f976dd83dbb487efdfe078fde2415)
Použitie a príklady
[upraviť | upraviť zdroj]Hodnota rozptylu je vždy kladná, čo vyplýva z toho, že pracujeme s druhou mocninou odchýlky. Druhú odmocninu z rozptylu nazývame smerodajná odchýlka a označujeme
![{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\mathrm {Var} [X]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920601c2893784138926689b0fb08723714ce02f)
Pomocou štandardnej odchýlky a korelačného koeficientu možno vyjadriť kovarianciu nasledovným spôsobom
![{\displaystyle \mathrm {Cov} [X,Y]=\rho _{XY}\sigma _{X}\sigma _{Y}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f3ece7640f1ec214c07ad94e8436bc9715cd8d)
Rozptyl vystupuje aj v dôležitej Čebyševovej nerovnosti, ktorá sa využíva pri dôkaze slabého zákona veľkých čísel.
Príklad
[upraviť | upraviť zdroj]Rozptyl rovnomerného rozdelenia na intervale [-1,+1] je
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\int \limits _{-1}^{+1}(x-0)^{2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{-1}^{+1}={\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f291508d0361b5c863e0abd3c21366b2972c3c)