Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je matematickým modelom kyvadla. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na tenkom dokonale pevnom vlákne zanedbatelnej hmotnosti, pričom sa zanedbáva odpor vzduchu pri pohybe kyvadla i trenie v závese a gravitačné pole sa považuje za homog0nne. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, ktorý po dodaní počiatočnej energie voľne kmitá. Pri malých výchylkách (do ±5°) je priebeh tohto kmitania približně harmonický, možno ho vyjádřit pomocí funkce sinus.

Matematický popis

Na hmotný bod pôsobí len tiažová sila a ťahová sila vlákna, ktorá ho udržuje v stálej vzdialenosti od závesu. Veľkosť výslednej sily je

$F=mg\sin \varphi$,

kde $g$ je tiažové zrýchlenie a φ je uhol, o ktorý je vlákno vychýlené z rovnovážnej polohy. Diferenciální rovnice pre popis pohybu kyvadla je z 2. Newtonovho pohybového zákona

${\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi$,

kde $l$ je dľžka vlákna. Pokiaľ je maximální výchylka z rovnovážnej polohy $\varphi _{\rm {max}}$ malá, možno funkciu sinus nahradiť lineárníou funkciou

$\sin \varphi \approx \varphi$.

Diferenciálna rovnica má preto podstatne jednoduchší tvar

${\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0.$

Táto rovnica má partikulárne riešenie

$\varphi (t)=\varphi _{m}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t\right)$,

kde $\varphi _{m}$ je počiatočná uhlová výchylka (predpokladáme nulovú počátočnú rýchlosž, takže je to zároveň maximálna výchylka) a $t$ je čas, čo je pohybová rovniae harmonického oscilátora s periódou

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Periódu ovplyvňuje iba dĺžka kyvadla a tiažové zrýchlenie.

Súvisiace články

• Fyzikálne kyvadlo
• Torzne kyvadlo