Herónov vzorec

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.

Vzorec[upraviť | upraviť zdroj]

Ak sú a, b, c dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah  S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)}, kde  s= \frac {a + b +c}{2} je polovičný obvod trojuholníka.

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Heronuv vzorec small.png

Označme x vzdialenosť vrcholu B od päty kolmice z vrcholu A na stranu a (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:

 \ x^2 + v^2 = c^2

 \ (a-x)^2 + v^2 = b^2

Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:

 \ a^2 - 2ax = b^2 - c^2

Z tohto vzťahu vyjadríme x:

 x= \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}

Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto - dáva + (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme x, získame výšku v:

 \ v^2 = c^2 - x^2

 v^2 = c^2 - \left(\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2

 v^2 = c^2 - \frac {\left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}

 v^2 =\frac{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}

 v =\frac{\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{2a}

Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka

 S= \frac {av}{2},

dostaneme

 S= \frac {\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{4}

Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:

 S= \frac {\sqrt{\left(2ac + a^2 + c^2 - b^2\right)\left(2ac - a^2 - c^2 + b^2\right)}}{4}

 S= \frac {\sqrt{\left[\left(a + c \right)^2 - b^2\right]\left[b^2 - \left(a - c \right)^2\right]}}{4}

 S= \frac {\sqrt{\left(a + c + b\right)\left(a + c - b\right)\left(b + a - c\right)\left(b - a + c\right)}}{4}

Dosadíme polovičný obvod s,

 \ a + b + c = 2s

a dostávame výsledný vzorec:

 S= \frac {\sqrt{2s\left(2s - 2a\right)\left(2s - 2b\right)\left(2s - 2c\right)}}{4}

 S= \frac {\sqrt{16s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}}{4}

 S= \sqrt{s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}

História[upraviť | upraviť zdroj]

Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.[1]

Poznámky[upraviť | upraviť zdroj]

  • Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety.
  • Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Heronův vzorec na českej Wikipédii.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]