Trojuholník

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Symbol rozcestia O iných významoch výrazu Trojuholník pozri Trojuholník (rozlišovacia stránka).

Trojuholník je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s troma vrcholmi a stranami. Je to dvojrozmerný útvar.

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°.

Definícia trojuholníka[upraviť | upraviť zdroj]

Trojuholník môžeme definovať ako prienik troch polrovín.
Ak máme tri rôzne body A, B, C, (ktoré neležia na jednej priamke) tak trojuholníkom s vrcholmi A, B, C nazývame prienik polrovín ABC, ACB, BCA.
Úsečky AB, BC, CA sú stranami tohto trojuholníka a ich zjednotenie je obvod trojuholníka.

Pre strany trojuholníka musí platiť trojuholníková nerovnosť, tj. , že súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany, teda:

  • a + b > c
  • b + c > a
  • a + c > b

Klasifikácia trojuholníkov[upraviť | upraviť zdroj]

Trojuholníky môžno triediť podľa viacerých kritérií:

  1. Podľa dĺžky jeho strán
    • Rovnostranný trojuholník – všetky strany majú rovnakú dĺžku. Rovnostranný trojuholník je tiež rovnouhlý, t. j. všetky jeho vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť, a to 60°; je to pravidelný mnohoulník.[1]
    • Rovnoramenný trojuholník – má práve dve strany rovnakej dĺžky. Rovnoramenný trojuholník má tiež dva rovnaké vnútorné uhly (sú to uhly, v ktorých obe rovnaké strany sa napájajú na tretiu).
      Rovnostranný trojuholník je tiež rovnoramenným, ale nie každý rovnoramenný trojuholník je rovnostranný.[2]
    • Rôznostranný trojuholník – všetky strany majú rozličnú dĺžku. Jeho vnútorné uhly sú taktiež rozdielne.[3]
    Rovnostranný trojuholník Rovnoramenný trojuholník Rôznostranný trojuholník
    Rovnostranný Rovnoramenný Rôznostranný
  2. Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla:
Pravouhlý trojuholník Tupouhlý trojuholník Ostrouhlý trojuholník
Pravouhlý Tupouhlý Ostrouhlý

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Výška trojuholníka[upraviť | upraviť zdroj]

Jeden z prípadov výšky trojuholníka a ortocentra - to sa nachádza v strede trojuholníka.

Je to úsečka na priamke prechádzajúcej vrcholom trojuholníka a je kolmá na protiľahlú stranu. V ľubovoľnom trojuholníku prechádzajú všetky tri výšky jedným bodom, ktorý nazývame ortocentrum. Ortocentrum môže mať ľubovoľnú polohu:

  • vo vnútri - ak je trojuholník ostrouhlý
  • na obvode - ak je trojuholník pravouhlý
  • mimo trojuholníka - ak je trojuholník tupouhlý

Výpočet výšky trojuholníka:

v_a = c\cdot\sin\beta = b\cdot \sin\gamma
v_b = a\cdot \sin\gamma = c\cdot \sin\alpha
v_c = b\cdot \sin\alpha = a\cdot \sin\beta

Ťažnice trojuholníka[upraviť | upraviť zdroj]

Ťažnice trojuholníka a ťažisko.

Ťažnice sú úsečky, ktoré spájajú vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán. Prechádzajú jedným bodom, ktorý voláme ťažisko. Ťažisko delí každú z ťažníc v pomere 2 : 1, pričom dlhšia časť je medzi vrcholom a ťažiskom, a kratšia časť medzi ťažiskom a stredom strany.

Stredné priečky trojuholníka[upraviť | upraviť zdroj]

Stredné priečky trojuholníka.

Sú to spojnice stredov dvoch strán a sú rovnobežné s treťou stranou trojuholníka. Veľkosť strednej priečky sa rovná polovičnej veľkosti strany trojuholníka, s ktorou je rovnobežná. Stredná priečka trojuholníka delí trojuholník na dve časti, ktorých obsahy sú v pomere 1 : 3.

Kružnica opísaná trojuholníku[upraviť | upraviť zdroj]

Kružnica opísaná trojuholníku.

Je to kružnica, ktorá obsahuje vrcholy daného trojuholníka. Stredom kružnice opísanej trojuholníku ABC je priesečník osí strán trojuholníka ABC. Polomer je spojnica stredu s ľubovoľným vrcholom.
Polomer opísanej kružnice:

R= \frac{a}{2 \sin\alpha}= \frac{b}{2 \sin\beta}= \frac{c}{2 \sin\gamma}

Kružnica vpísaná trojuholníku[upraviť | upraviť zdroj]

Kružnica vpísaná trojuholníku.

Je to kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán daného trojuholníka. Stredom kružnice vpísanej trojuholníku ABC je priesečník osí uhlov trojuholníka ABC (a leží vždy vnútri trojuholníka!). Polomer je vzdialenosť stredu od ľubovoľnej strany trojuholníka.
Polomer vpísanej kružnice:

r =4R\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2} \cdot \sin\frac{\gamma}{2}

alebo r=2S/o; o= obvod trojuholníka,S= obsah trojuholníka

Osi strán[upraviť | upraviť zdroj]

Priamky, ktoré prechádzajú stredom strán trojuholníka a sú na ne kolmé, nazývame osi strán. Pretínajú sa v jednom bode, ktorý je stredom opísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka).

Osi vnútorných uhlov[upraviť | upraviť zdroj]

Pretínajú sa v jednom bode, ktorý tvorí stred vpísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých strán trojuholníka).

Vzťahy platiace v trojuholníku[upraviť | upraviť zdroj]

Výpočet obsahu[upraviť | upraviť zdroj]

Vzorec pre výpočet obsahu trojuholníka vyzerá nasledovne: S = \frac{av_a}{2} = \frac{bv_b}{2} = \frac{cv_c}{2} pričom a, b, c sú strany trojuholníka a v_a, v_b, v_c sú výšky kolmé na prislúchajúcu stranu.
Obsah však možno vypočítať aj Herónovým vzorcom: S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, kde s = o/2
Obsah trojuholníka pomocou vnútorného uhla: S=\frac{1}{2}ab\,\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\,\sin\beta=\frac{1}{2}bc\,\sin\alpha

Výpočet obvodu[upraviť | upraviť zdroj]

Obvod trojuholníka sa rovná súčtu všetkých troch strán trojuholníka. Platí: o = a + b + c

Podobnosť trojuholníkov[upraviť | upraviť zdroj]

Dva trojuholníky môžu byť zhodné (podobné) podľa troch viet o podobnosti: sss, sus, usu.

  • Veta (sss): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých troch stranách, sú zhodné.
  • Veta (sus): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom sú zhodné.
  • Veta (usu): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.
  • Veta (Ssu): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle ležiacom oproti väčšej z nich, sú zhodné.

Pravouhlý trojuholník[upraviť | upraviť zdroj]

Pravouhlý trojuholník je špeciálny prípad trojuholníka, v ktorom platia špeciálne vzťahy(tieto vzťahy neplatia v ostatných 2 typoch trojuholníka.)
Vlastnosti pravouhlého trojuholníka

  • jeden z vnútorných uhlov má 90 stupňov
  • súčet ostatných dvoch ostrých uhlov je tiež 90 stupňov
  • pravouhlý trojuholník má dve odvesny a jednu preponu. Prepona je najdlhšia strana trojuholníka a je vždy oproti pravému uhlu.
  • keďže odvesny sú na seba kolmé, obsah pravouhlého trojuholníka možno vypočítať aj takto: \frac{ab}{2}, kde a, bodvesny pravouhlého trojuholníka

Vzťahy platiace v pravouhlom trojuholníku

  • Pytagorova veta: Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma jeho odvesnami. Z toho vyplýva vzorec: c^2 = a^2 + b^2.
  • Talesova kružnica: Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou AC je kružnica s priemerom AC s výnimkou bodov A a C.
  • Euklidova veta o výške: Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka spustenou na preponu sa rovná obsahu pravouholníka, ktorého strany sú úseky na prepone priľahlé k odvesnám.
v_c^2=c_a.c_b
  • Euklidova veta o odvesne: Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdlžníka zostrojeného z prepony a úseku na prepone priľahlého k odvesne. Pre jednotlivé odvesny trojuholníka teda platí:
a^2=c.c_a
b^2=c.c_b
Pytagorova veta c^2 = a^2 + b^2 Euklidova veta.svg
Euklidova veta o odvesne a^2=c.c_a
b^2=c.c_b
c = c_a + c_b
Euklidova veta o výške v_c^2=c_a.c_b

Ďalšie vzťahy platiace v trojuholníkoch[upraviť | upraviť zdroj]

Sínusová veta[upraviť | upraviť zdroj]

Znenie sínusovej vety:

  • Pre každý trojuholník ABC s vnútornými uhlami α, β, γ a stranami a, b, c platí:
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

Čiže:

  • Pomer všetkých dĺžok strán a hodnôt sínusov im protilahlých uhlov je v trojuholníku konštantný.
  • Pomer dĺžok strán trojuholníka sa rovná pomeru sínusov im protilahlých uhlov:
\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} , \quad \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}, \quad \frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}

Kosínusová veta[upraviť | upraviť zdroj]

Kosínusová veta má tri základné varianty:

  • a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos \alpha
  • b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos \beta
  • c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.cos \gamma

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]