Kosínusová veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V trigonometrii sa kosínusová veta používa na výpočet dĺžky strany, pričom poznáme veľkosť uhla ležiaceho oproti strane a dĺžku zvyšných dvoch strán (ktoré zvierajú tento uhol).

Kosínusová veta má tri základné varianty:

  • a² = b² + c² - 2 × b × c × cos α
  • b² = a² + c² - 2 × a × c × cos β
  • c² = a² + b² - 2 × a × b × cos γ

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Trojuholník

Nech v trojuholníku ABC päta výšky na stranu c rozdeľuje stranu c na dve časti:

  • x = |AC0|
  • y = |C0B|
  • vc = |CC0|

Potom v trojuholníku AC0C platí Pytagorova veta:

b² = vc² + x²
vc² = b² - x²

Obdobne v trojuholníku BC0C platí Pytagorova veta:

a² = vc² + y²
vc² = a² - y²

Keďže strana c sa skladá z častí x a y, môžeme y vyjadriť ako y = c - x a teda y² = c² - 2cx + x². V trojuholníku AC0C platí, že kosínus α je rovný pomeru strán x ku b. Z tohto vzťahu si teda môžeme vyjadriť x ako x = b × cos(α).

Na základe predchádzajúcich výpočtov vieme, že platí nasledujúca rovnosť:

vc² = vc²
b² - x² = a² - y²
b² - x² = a² - c² + 2cx - x²
b² = a² - c² + 2cx
b² = a² - c² + 2bc × cos(α)
a² = b² + c² - 2bc × cos(α)

Analogickým spôsobom môžeme dokázať aj zvyšné tvary kosínusovej vety.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]