Kosínusová veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V trigonometrii sa kosínusová veta používa na výpočet dĺžky strany, pričom poznáme veľkosť uhla ležiaceho oproti strane a dĺžku zvyšných dvoch strán (ktoré zvierajú tento uhol).

Kosínusová veta má tri základné varianty:

  • a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha
  • b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos \beta
  • c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Trojuholník

Nech v trojuholníku ABC päta výšky na stranu c rozdeľuje stranu c na dve časti:

  • x = |AC_0|
  • y = |C_{0}B|
  • v_c = |CC_0|

Potom v trojuholníku AC0C platí Pytagorova veta:

b^2 = v_c^2 + x^2
v_{c}^2 = b^2 - x^2

Obdobne v trojuholníku BC0C platí Pytagorova veta:

a^2 = v_c^2 + y^2
v_c^2 = a^2 - y^2

Keďže strana c sa skladá z častí x a y, môžeme y vyjadriť ako y = c - x a teda y² = c² - 2cx + x². V trojuholníku AC0C platí, že kosínus α je rovný pomeru strán x ku b. Z tohto vzťahu si teda môžeme vyjadriť x ako x = b \cdot \cos \alpha.

Na základe predchádzajúcich výpočtov vieme, že platí nasledujúca rovnosť:

v_c^2 = v_c^2
b^2 - x^2 = a^2 - y^2
b^2 - x^2 = a^2 - c^2 + 2cx - x^2
b^2 = a^2 - c^2 + 2cx
b^2 = a^2 - c^2 + 2bc \cdot \cos \alpha
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha

Analogickým spôsobom môžeme dokázať aj zvyšné tvary kosínusovej vety.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]