Pytagorova veta

Ilustrácia Pytagorovej vety

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

$a^2 + b^2 = c^2$,

kde $a$, $b$ sú dĺžky odvesien a $c$ je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Dejiny

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne , Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly.Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 148 je pravý.

Pravý uhol

Zovšeobecnenie Pytagorovej vety

Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti $k$ je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca $k$-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou $k$ a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Hilbertovom priestore

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom (t. j. Hilbertov priestor). Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$, pre ktoré platí

$\mathbf{c} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\qquad\mathbf{a} \perp \mathbf{b}.$

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

$\|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{c}\|^2,$

kde $\|\cdot \|$ je norma príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ označíme

$\mathbf{a} = B - C,\ \ \mathbf{b} = A - C, \ \ \mathbf{c} = A - B,$

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazy Pytagorovej vety

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

Dôkaz číslo 1

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou $a + b$ je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

• zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami $a$ a $b$
• zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou $c$.

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Dôkaz číslo 2

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

• Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka $a$ a $b$. Pre jeho obsah teda platí:

$S = (a + b)(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2$.

• Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou $c$. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov ($\begin{matrix}4\frac{ab}{2}=2ab\end{matrix}$) a bieleho štvorca so stranou c ($c^2$). Obsah celého obrazca je daný vzorcom

$S = 2ab + c^2$.

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

$a^2 + b^2 = c^2$.

Dôkaz číslo 3

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly ($DCB$ a $DAC$, ktorý sa rovná uhlu $BAC$) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° ($\pi$ $\mathrm{rad}$). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

1. $\mathit{|BAC| + |ACB| + |CBA|} = 180^\circ$
2. $\mathit{|CBD| + |BDC| + |DCB|} = 180^\circ$
3. $\mathit{|DAC| + |ACD| + |CDA|} = 180^\circ$

z uvedeného vyplýva, že

1. $\mathit{|BAC| + |CBA|} = 90^\circ$
2. $\mathit{|CBD| + |DCB|} = 90^\circ$
3. $\mathit{|DAC| + |ACD|} = 90^\circ$

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly $BAC$ a $DAC$ sú zhodné), že platí |$CBA$| = |$ACD$|. Ak $CBA$ dosadíme do 3. rovnice na miesto $ACD$, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |$BCD$| = |$DAC$|. Trojuholníky sú si teda podobné.

Samotný dôkaz

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

$a/p = c/a \quad \Rightarrow\quad a^2/p = c \quad \Rightarrow\quad a^2 = cp$

a rovnako platí aj

$b/q = c/b\quad\Rightarrow\quad b^2/q = c\quad \Rightarrow \quad b^2 = cq.$

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

$a^2 + b^2 = cp + cq\quad \Rightarrow\quad a^2 + b^2 = c(p+q).$

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že $c = p + q$, čo po dosadení dá:

$a^2 + b^2 = c^2.$

Pytagorejské čísla

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel $a$, $b$ a $c$, pre ktoré platí $a^2 + b^2 = c^2$. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

Iné projekty

• Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Pytagorova veta

Externé odkazy

• Dôkazy Pytagorovej vety (po nemecky)