Pytagorova veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Ilustrácia Pytagorovej vety

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

a^2 + b^2 = c^2,

kde a, bdĺžky odvesien a c je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Dejiny[upraviť | upraviť zdroj]

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne , Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly.Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1,4,8 je pravý.

Pravý uhol

Zovšeobecnenie Pytagorovej vety[upraviť | upraviť zdroj]

Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami[upraviť | upraviť zdroj]

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti k je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca k-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou k a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore[upraviť | upraviť zdroj]

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, pre ktoré platí

\mathbf{c} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\qquad\mathbf{a} \perp \mathbf{b}.

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

\|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{c}\|^2,

kde \|\cdot \| je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C označíme

\mathbf{a} = B - C,\ \ \mathbf{b} = A - C, \ \ \mathbf{c} = A - B,

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazy Pytagorovej vety[upraviť | upraviť zdroj]

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

Dôkaz číslo 1[upraviť | upraviť zdroj]

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou a + b je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

  • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami a a b
  • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou c.

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Dôkaz číslo 2[upraviť | upraviť zdroj]

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

  • Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka a a b. Pre jeho obsah teda platí:
S = (a + b)(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2.
  • Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou c. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov (\begin{matrix}4\frac{ab}{2}=2ab\end{matrix}) a bieleho štvorca so stranou c (c^2). Obsah celého obrazca je daný vzorcom
S = 2ab + c^2.

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

a^2 + b^2 = c^2.

Dôkaz číslo 3[upraviť | upraviť zdroj]

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (DCB a DAC, ktorý sa rovná uhlu BAC) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)[upraviť | upraviť zdroj]

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (\pi \mathrm{rad}). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

  1. \mathit{|BAC| + |ACB| + |CBA|} = 180^\circ
  2. \mathit{|CBD| + |BDC| + |DCB|} = 180^\circ
  3. \mathit{|DAC| + |ACD| + |CDA|} = 180^\circ

z uvedeného vyplýva, že

  1. \mathit{|BAC| + |CBA|} = 90^\circ
  2. \mathit{|CBD| + |DCB|} = 90^\circ
  3. \mathit{|DAC| + |ACD|} = 90^\circ

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly BAC a DAC sú zhodné), že platí |CBA| = |ACD|. Ak CBA dosadíme do 3. rovnice na miesto ACD, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |BCD| = |DAC|. Trojuholníky sú si teda podobné.

Samotný dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

a/p = c/a \quad \Rightarrow\quad a^2/p = c \quad \Rightarrow\quad a^2 = cp

a rovnako platí aj

b/q = c/b\quad\Rightarrow\quad b^2/q = c\quad \Rightarrow \quad b^2 = cq.

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

a^2 + b^2 = cp + cq\quad \Rightarrow\quad a^2 + b^2 = c(p+q).

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že c = p + q, čo po dosadení dá:

a^2 + b^2 = c^2.

Pytagorejské čísla[upraviť | upraviť zdroj]

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel a, b a c, pre ktoré platí a^2 + b^2 = c^2. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]