Päťuholník

Pentagón

Päťuholník alebo pentagón je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s piatimi vrcholmi a stranami. Súčet jeho vnútorných uhlov je presne 540° (3π). Päťuholníky môžu byť pravidelné alebo všeobecné

Matematické vzťahy

Pre pravidelný päťuholník

Obsah	$S = \frac{{a^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4}$
Opísaná kružnica	$r_o = a \cdot \sqrt{\frac{2}{5 - \sqrt{5}}}$
Vpísaná kružnica	$r_v = \frac{a}{2 \sqrt {5 - 2\sqrt 5 }}$
Uhlopriečka	$l_u = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$ (zlatý rez)
Výška	$h = r_u+r_i=\frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }$
Obvod	$u = 5 \cdot a$
Uhol ramien	$\sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Obsah inak

$S=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \tan 54^\circ \cdot \frac{a}{2} = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \tan 54^\circ \approx a^2\cdot 1{,}7204774.$

$S=\frac{5}{8}\cdot r_o^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}$

tiež

$S=\frac{5}{2}\cdot r_o^2 \cdot \sin{72^\circ} \approx r_o^2 \cdot 2{,}3776413.$

strana a

$a=2 \cdot r_o \cdot \cos 54^\circ$

tiež

$a=r_o \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt 5}{2}} \approx r_o \cdot 1{,}1755705.$

Vlastnosti

Vnútorný päťuholník vymedzený uhlopriečkami

Pomer dĺžok uhlopriečky a strany je rovný zlatému rezu

Jedna uhlopriečka pretína druhú tak, že dĺžky vzniknutých častí sú v pomere zlatého rezu

Uhlopriečky pravidelného 'päťuholníka v jeho vnútri vymedzujú oblasť, ktorá má taktiež tvar pravidelného päťuholníka.

Vnútorné a vonkajšie päťuholníky majú rovnaký stred (geometria), sú opačně orientované a dĺžky ich strán sú v pomere $1:1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

História

Pravidelný päťuholník vždy hral významnú úlohu v mystike a symbolike. Od pravidelného päťuholníka je tiež odvodený symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sekte ako poznávací znak. Jedným z dôvodov, prečo bol pravidelný päťuholník uctievaný, bolo zrejme to, že sa v ňom hneď na niekoľkých miestach ukazuje "najdokonalejší pomer" - zlatý rez.

Konštrukcia

Konštrukcia pravidelného päťuholníka bola známa už v starovekom Grécku.
Jedna z metód zostavenia pravidelného päťuholníka:

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Päťuholník