Trigonometria

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Trigonometria (z gréčtiny trigona = tri uhly a metro = merať) je disciplína matematiky zaoberajúca sa praktickými úlohami súvisiacimi s uhlami a trojuholníkmi s využitím goniometrických funkcií ako sínus, kosínus a tangens. Trigonometria ako súčasť goniometrie má blízky vzťah ku geometrii, aj keď nepanuje všeobecná dohoda aký presne; pre niektorých je trigonometria len praktický pododbor geometrie.

Raná história[upraviť | upraviť zdroj]

Počiatky trigonometrie sa datujú až ku kultúram starovekého Egyptu a civilizáciam Babylončanov a údolia rieky Indus pred 3000 rokmi. Indickí matematici mali na dobrej úrovni rozvinuté algebraické výpočty s premennými, ktoré využívali v astronómii a medzi ktoré patrila aj trigonometria.

Grécky matematik Hipparchos okolo roku 150 pred Kr. napísal trigonometrické tabuľky pre riešenie problémov s trojuholníkmi.

Iný Grécky matematik, Ptolemaios okolo roku 100 ďalej rozvinul trigonometrický aparát.

Trigonometria dnes[upraviť | upraviť zdroj]

Dnes existuje enormné množstvo aplikácií trigonometrie. Medzi dôležité patri technika trinagulácie, ktorá sa používa v astronómii na meranie vzdieleností susedných hviezd, v geografii na meranie vzdialeností medzi orietančými bodmi a satelitných navigačných systémoch. Ďalšie aplikácie trigonometrie nachádzame v astronómii (a teda aj v navigácii na oceánoch, lietadlách a vo vesmíre), hudobnej teórii, akustike, optike, analýze finančných trhov, elektronike, teórii pravdepodobnosti, štatistike, biológii, medicínskej diagnostike (počítačová tomografia a ultrazuk), farmácii, chémii, teórii čísel (a teda aj v kryptológii), seizmológii, meteorológii, oceánografii, v mnoho fyzikálnych vedách, geodézii, architektúre, fonetike, ekonómiii, počítačovej grafike, kartografii, kryštalografii a v mnohých iných.

O trigonometrii[upraviť | upraviť zdroj]

Hovoríme, že dva trojuholníky sú podobné, ak jeden môžeme zíkať z druhého roztiahnutím. Toto je ekvivalentné len tomu a tomu prípadu, kedy sú si zodpovedajúce uhly rovné a nastáva napríklad vtedy, keď dva trojuholníky zdieľajú ten istých uhol a strany oproti tomu uhlu sú rovnobežné. Rozhodujúca skutočnosť je, že podobné trojuholníky majú rovnaký pomer strán. Napríklad ak najdhlšia strana trojuholníka je dvakrát taká dlhá ako najdlhšia strana nejakého k nemu podobného trojuholníka, potom aj nakrajtšia strana bude dvakrát taká dlhá ako najkratšia strana podobného trojuholníka (podobne so zvyšnou stranou). Takisto pomer najdlhšej a najkratšej strany prvého trojuholníka bude rovnaký ako pomer najdlhšej a najkratšej strany druhého trojuholníka.

Pravouhlý trojuholník

Využitím týchto faktov môžeme definovať trigonometrické (goniometrické) funkcie, začínajúc pravouhlými trojuholníkmi (trojuholníkmi s pravým uhlom). Najdlhšia strana v pravouhlých trojuholníkoch je vždy strana oproti pravému uhlu.

Pretože súčet uhlom v trojuholníku je 180 stupňov alebo π radiánov, najväčší uhol v pravouhlých trojuholníkoch je vždy pravý uhol a súčet ostatných uhlov je 90°.

Najdlhšia strana v týchto trojuholníkoch je preto strana oproti pravému uhlu a nazýva sa prepona.

Vyberme si dva ľubovoľné pravouhlé trojuholníky, ktoré zdieľajú nepravý uhol A. Tieto trojuholíky budú podobné a pomer strán oproti A (protiľahlých k A) k preponám bude rovnaký. Keďže prepona je najdlhšia strana, bude to vždy číslo medzi 0 a 1, ktoré závisí len na A, a toto číslo nazývame sínusom uhla A. Analogicky môžeme definovať kosínus uhla A ako pomer strany priľahlej k A a prepony.

 \sin A = {\mathrm{proti\check{l}ahl\acute{a}} \over \mathrm{prepona}}
 \qquad \cos A = {\mathrm{pri\check{l}ahl\acute{a}} \over \mathrm{prepona}}

Tieto dve fukcie môžeme považovať za základné trigonometrické funkcie. Ostatné funkcie definujeme ako pomery ostatných strán pravouhlých trojuholníkov, ale dajú sa vyjadriť pomocou sínusu a kosínusu. Sú to tangens, sekans, kotangens a kosekans.

 \tan A = {\sin A \over \cos A} = {\mathrm{proti\check{l}ahl\acute{a}} \over \mathrm{pri\check{l}ahl\acute{a}}} 
 \qquad \sec A = {1 \over \cos A}   = {\mathrm{prepona} \over \mathrm{pri\check{l}ahl\acute{a}}}
 \cot A = {\cos A \over \sin A} = {\mathrm{pri\check{l}ahl\acute{a}} \over \mathrm{proti\check{l}ahl\acute{a}}}
 \qquad \csc A = {1 \over \sin A}   = {\mathrm{prepona} \over \mathrm{proti\check{l}ahl\acute{a}}}

Takto sme definovali trigonometrické funkcie pre uhly medzi 0 a 90 stupňami (0 až π/2 radiánov). Použitím jednotkovej kružnice ich môžeme rozšíriť na všetky kladné a záporné arugmenty (pozri trigonometrické funkcie).

Hneď ako vieme počítať funkcie sínus a kosínus, môžeme dostať odpovede na takmer všetky otázky o ľubovoľných uhloch použitím sínusovej vety a kosínusovej vety'. Tieto vety sa dajú použiť na vypočítanie uhlov a strán ľubovoľných trojuhloníkov hneď ako poznáme dve strany a uhol alebo dva uhly a stranu alebo tri strany.

Niektorí matematickí historici si myslia, že trigonometria bola pôvodne rozpracovaná pre potreby zostrojovania a používania slnečných hodín (otázky okolo nich sú tradičné príklady v starých knihách).