Trigonometria

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Trigonometria (z gréč. trigona – tri uhly a metro – merať) je disciplína matematiky zaoberajúca sa praktickými úlohami súvisiacimi s uhlami a trojuholníkmi s využitím goniometrických funkcií ako sínus, kosínus a tangens. Trigonometria ako súčasť goniometrie má blízky vzťah ku geometrii, aj keď nepanuje všeobecná dohoda aký presne; pre niektorých je trigonometria len praktický pododbor geometrie.

Raná história[upraviť | upraviť zdroj]

Počiatky trigonometrie sa datujú až ku kultúram starovekého Egyptu a civilizáciám Babylončanov a údolia rieky Indus pred 3000 rokmi. Indickí matematici mali na dobrej úrovni rozvinuté algebraické výpočty s premennými, ktoré využívali v astronómii a medzi ktoré patrila aj trigonometria.

Grécky matematik Hipparchos okolo roku 150 pred Kr. napísal trigonometrické tabuľky pre riešenie problémov s trojuholníkmi.

Iný grécky matematik, Ptolemaios okolo roku 100 ďalej rozvinul trigonometrický aparát.

Trigonometria dnes[upraviť | upraviť zdroj]

Dnes existuje enormné množstvo aplikácií trigonometrie. Medzi dôležité patri technika trinagulácie, ktorá sa používa v astronómii na meranie vzdialeností susedných hviezd, v geografii na meranie vzdialeností medzi orietačnými bodmi a v satelitných navigačných systémoch. Ďalšie aplikácie trigonometrie nachádzame v astronómii (a teda aj v navigácii na oceánoch, lietadlách a vo vesmíre), hudobnej teórii, akustike, optike, analýze finančných trhov, elektronike, teórii pravdepodobnosti, štatistike, biológii, medicínskej diagnostike (počítačová tomografia a ultrazvuk), farmácii, chémii, teórii čísel (a teda aj v kryptológii), seizmológii, meteorológii, oceánografii, v mnohých fyzikálnych vedách, geodézii, architektúre, fonetike, ekonómii, počítačovej grafike, kartografii, kryštalografii a v mnohých iných.

O trigonometrii[upraviť | upraviť zdroj]

Hovoríme, že dva trojuholníky sú podobné, ak jeden môžeme získať roztiahnutím druhého. Toto je ekvivalentné len tomu prípadu, kedy sú si zodpovedajúce uhly rovné a nastáva to napríklad vtedy, keď dva trojuholníky zdieľajú ten istý uhol a strany oproti tomu uhlu sú rovnobežné. Rozhodujúca skutočnosť je, že podobné trojuholníky majú rovnaký pomer strán. Napríklad ak najdlhšia strana trojuholníka je dvakrát taká dlhá ako najdlhšia strana nejakého jemu podobného trojuholníka, potom aj nakratšia strana bude dvakrát taká dlhá ako najkratšia strana podobného trojuholníka (podobne so zvyšnou stranou). Takisto pomer najdlhšej a najkratšej strany prvého trojuholníka bude rovnaký ako pomer najdlhšej a najkratšej strany druhého trojuholníka.

Pravouhlý trojuholník

Využitím týchto faktov môžeme definovať trigonometrické (goniometrické) funkcie, začínajúc pravouhlými trojuholníkmi (trojuholníkmi s pravým uhlom). Najdlhšia strana v pravouhlých trojuholníkoch je vždy strana oproti pravému uhlu.

Pretože súčet uhlov v trojuholníku je 180 stupňov alebo π radiánov, najväčší uhol v pravouhlých trojuholníkoch je vždy pravý uhol a súčet ostatných uhlov je 90°.

Najdlhšia strana v týchto trojuholníkoch je preto strana oproti pravému uhlu a nazýva sa prepona.

Vyberme si dva ľubovoľné pravouhlé trojuholníky, ktoré zdieľajú nepravý uhol A. Tieto trojuholníky budú podobné a pomer strán oproti A (protiľahlých k A) k preponám bude rovnaký. Keďže prepona je najdlhšia strana, bude to vždy číslo medzi 0 a 1, ktoré závisí len na A, a toto číslo nazývame sínusom uhla A. Analogicky môžeme definovať kosínus uhla A ako pomer strany priľahlej k A a prepony.

 \sin A = {\mathrm{proti\check{l}ahl\acute{a}} \over \mathrm{prepona}}
 \qquad \cos A = {\mathrm{pri\check{l}ahl\acute{a}} \over \mathrm{prepona}}

Tieto dve funkcie môžeme považovať za základné trigonometrické funkcie. Ostatné funkcie definujeme ako pomery ostatných strán pravouhlých trojuholníkov, ale dajú sa vyjadriť pomocou sínusu a kosínusu. Sú to tangens, sekans, kotangens a kosekans.

 \tan A = {\sin A \over \cos A} = {\mathrm{proti\check{l}ahl\acute{a}} \over \mathrm{pri\check{l}ahl\acute{a}}} 
 \qquad \sec A = {1 \over \cos A}   = {\mathrm{prepona} \over \mathrm{pri\check{l}ahl\acute{a}}}
 \cot A = {\cos A \over \sin A} = {\mathrm{pri\check{l}ahl\acute{a}} \over \mathrm{proti\check{l}ahl\acute{a}}}
 \qquad \csc A = {1 \over \sin A}   = {\mathrm{prepona} \over \mathrm{proti\check{l}ahl\acute{a}}}

Takto sme definovali trigonometrické funkcie pre uhly medzi 0 a 90 stupňami (0 až π/2 radiánov). Použitím jednotkovej kružnice ich môžeme rozšíriť na všetky kladné a záporné argumenty (pozri trigonometrické funkcie).

Hneď ako vieme počítať funkcie sínus a kosínus, môžeme dostať odpovede na takmer všetky otázky o ľubovoľných uhloch použitím sínusovej vety a kosínusovej vety. Tieto vety sa dajú použiť na vypočítanie uhlov a strán ľubovoľných trojuholníkov hneď ako poznáme dve strany a uhol; dva uhly a stranu alebo tri strany.

Niektorí matematickí historici si myslia, že trigonometria bola pôvodne rozpracovaná pre potreby zostrojovania a používania slnečných hodín (otázky okolo nich sú tradičné príklady v starých knihách).