Tálesova veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Úsečka AC je priemer, uhol pri bode B má konštantnú veľkosť 90° (pravý uhol)
Tálesova veta: keď AC je priemer, potom uhol v bode B bude pravý.

V geometrii Tálesova veta (pomenovaná podľa gréckeho filozofa Tálesa z Milétu) hovorí, že ak A, B, C sú body na kružnici, kde AC je priemer kružnice, potom uhol ABC je pravý uhol.

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Obrázok ku dôkazu.

Pri dôkaze použijeme nasledovné tvrdenia:

Nech O je stred kružnice. Keďže platí OA = OB = OC, OAB a OBC sú rovnoramenné trojuholníky a na základe rovnosti základňových uhlov rovnoramenných trojuholníkov, OBC = OCB a BAO = ABO. Označme uhly \gamma = BAO a \delta = OBC. Tri vnútorné uhly trojuholníka ABC sú potom \gamma, \gamma + \delta a \delta. Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180°:

\gamma + (\gamma +\delta) + \delta = 180^\circ

z toho vyplýva po úprave

2\gamma + 2\delta = 180^\circ\quad \Rightarrow\quad \gamma + \delta = 90^\circ,

čo bolo treba dokázať.

Zovšeobecnenie[upraviť | upraviť zdroj]

Tálesova veta je špeciálnym prípadom nasledovnej vety:

Nech sú dané tri body A, B a C na kružnici so stredom O, potom uhol AOC je dvakrát taký veľký ako uhol ABC.

Dôkaz tejto vety je podobný ako dôkaz Tálesovej vety uvedený vyššie.

Aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]

Konštrukcia dotyčnice využitím Tálesovej vety.

Tálesovu vetu môžeme použiť na konštrukciu dotyčnice danej kružnice, ktorá pretína daný bod (pozri obrázok). Nech je daná kružnica k so stredom O a vonkajší bod P mimo kružnice, chceme skonštruovať (na obrázku červenú) dotyčnicu (dotyčnice) kružnice k, ktorá pretína bod P. Označme bod, v ktorom sa (zatiaľ neznáma) dotyčnica t dotýka kružnice ako T. Zo symetrie je zrejmé, že polomer OT je kolmý na túto dotyčnicu. Nájdime stred H na úsečke spájajúcej body O a P a obkreslime kružnicu so stredom H cez tieto body. Podľa Tálesovej vety je hľadaný bod T priesečník tejto kružnice s danou kružnicou k, pretože to je bod na kružnici k, ktorý tvorí s bodmi O a P pravouhlý trojuholník OTP.

Pretože spomínané dve kružnice sa pretnú v dvoch bodoch, týmto spôsobom môžeme zostrojiť obe dotyčnice.

História[upraviť | upraviť zdroj]

Táles nebol prvý, ktorý formuloval túto vetu, keďže Egypťania aj Babylončania ju poznali, pravdepodobne empiricky, pretože sa nenašli žiadne dokumenty s jej dôkazom. Veta je pomenovaná po Tálesovi, ktorému sa pripisuje jej prvý dôkaz. Táles použil svoje vlastné výsledky o základňových uhloch rovnoramenného trojuholníka a súčte vnútorných uhloch trojuholníku.