z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Lagrangeova veta (o strednej hodnote) alebo Veta o strednej hodnote diferenciálneho počtu alebo Lagrangeova veta o prírastku funkcie (pomenovaná podľa Josepha Louisa Lagrangea ) je veta v diferenciálnom počte .
Nech
f
:
⟨
a
,
b
⟩
→
R
{\displaystyle f:\langle a,b\rangle \to \mathbb {R} }
funkcia taká, že
f je spojitá na <a,b> ,f má v každom bode intervalu (a,b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu .Potom existuje bod
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
f v bode c platí
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
.
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
Nech
F
:
⟨
a
,
b
⟩
→
R
{\displaystyle F:\langle a,b\rangle \to \mathbb {R} }
funkcia definovaná ako
F
(
x
)
:=
f
(
x
)
−
λ
x
.
{\displaystyle F(x):=f(x)-\lambda x.}
Kde
λ
{\displaystyle \lambda }
Rollovu vetu o strednej hodnote . Teda dostávame
F
(
x
)
:=
f
(
x
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
x
.
{\displaystyle F(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x.}
Funkcia F(x) na intervale <a,b> vyhovuje predpokladom Rollovej vety o strednej hodnote , čo znamená, že existuje bod
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
F
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle F'(c)=0}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
x
{\displaystyle x}
F
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
,
{\displaystyle F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}},}
vyčíslime v bode
c
{\displaystyle c}
F
′
(
c
)
=
f
′
(
c
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
=
0
,
{\displaystyle F'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0,}
a teda
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
.
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
↑ a b Neubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.
