Lagrangeova veta o strednej hodnote

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Lagrangeova veta (o strednej hodnote) alebo Veta o strednej hodnote diferenciálneho počtu alebo Lagrangeova veta o prírastku funkcie (pomenovaná podľa Josepha Louisa Lagrangea) je veta v diferenciálnom počte.

Znenie vety[1][upraviť | upraviť zdroj]

Nech f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R} je funkcia taká, že

  1. f je spojitá na <a,b>,
  2. f má v každom bode intervalu (a,b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu.

Potom existuje bod c \in (a,b) taký, že pre prvú deriváciu funkcie f v bode c platí

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.

Dôkaz[1][upraviť | upraviť zdroj]

Nech F:\langle a,b \rangle \to \mathbb{R} je funkcia definovaná ako

F(x) := f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}x.

Ľahko možno overiť, že F(x) na intervale <a,b> vyhovuje predpokladom Rollovej vety o strednej hodnote, čo znamená, že existuje bod c \in (a,b) taký, že platí F'(x) = 0, z čoho

 f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = 0,

a teda

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. a b Neubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]