Rollova veta o strednej hodnote

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Rollova veta o strednej hodnote alebo skrátene Rollova veta (často nesprávne Rolleho veta...), pomenovaná po Michelovi Rollovi, je veta v diferenciálnom počte, ktorá hovorí, že pre každú reálnu funkciu, spojitú na uzavretom intervale, ktorá má vo vnútri daného intervalu konečnú alebo nekonečnú deriváciu, a ktorá v krajných bodoch daného intervalu nadobúda rovnaké hodnoty, existuje vnútri daného intervalu nulový bod jej prvej derivácie.[1]

Znenie vety[upraviť | upraviť zdroj]

Nech f: <a,b> \to \mathbb{R} je funkcia spĺňajúca nasledujúce predpoklady:

  1. f je spojitá na <a,b>,
  2. f má na (a,b) konečnú alebo nekonečnú deriváciu,
  3. f(a) = f(b).

Potom existuje bod c \in (a,b) taký, že f'(c) = 0.

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je f konštantná, tvrdenie platí pre všetky body c \in (a,b). Nech teda nie je konštantná. Potom, zo spojitosti, existuje bod c \in (a,b) taký, že f v ňom nadobúda svoje supremum alebo infimum. Keďže je v ňom ale f diferencovateľná, nutne musí platiť f'(c) = 0.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Neubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]