Newtonov polynóm

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Newtonov interpolačný polynóm alebo presnejšie interpolačný polynóm v Newtonovom tvare alebo skrátene len Newtonov polynóm je v numerickej matematike polynóm pomenovaný podľa Isaaca Newtona interpolujúci danú množinu bodov, ktorý má špecifický tvar, nazývaný Newtonov tvar.

Jedna zo základných viet teórie interpolácie hovorí, že interpolačný polynóm, pre daný stupeň polynómu a danú množinu interpolačných uzlov, je len jeden. Z toho vyplýva, že Newtonov interpolačný polynóm a napr. Lagrangeov interpolačný polynóm udávajú pre rovnaký stupeň rovnakú polynomiálnu funkciu a líšia sa len spôsobom jej zápisu - Newtonov polynóm využíva zápis v Newtonovom tvare, kým Lagrangeov polynóm zas zápis v Lagrangeovom tvare.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je daná množina k + 1 bodov

(x_0, y_0),\ldots,(x_j, y_j),\ldots,(x_k, y_k)

kde žiadne dve hodnoty x_j nie sú rovnaké. Potom Newtonov polynóm stupňa k interpolujúci danú množinu bodov má tvar lineárnej kombinácie tzv. Newtonových bázových polynómov n_j(x)\,, teda

N(x) := \sum_{j=0}^{k} a_{j} n_{j}(x) ,

kde Newtonove bázové polynómy majú tvar

n_j(x) := \prod_{i=0}^{j-1} (x - x_i).

V ďalšom procese hľadania vyjadrenia Newtonovho interpolačného polynómu je podstatné vyjadriť koeficienty a_j tak, aby polynóm skutočne interpoloval danú množinu bodov.

Označme preto p_{n-1}^{(0,n-1)} \, polynóm stupňa n-1 interpolujúci body (x_0, y_0),\ldots,(x_{n-1}, y_{n-1}) a p_{n-1}^{(1,n)} \, polynóm stupňa n-1 interpolujúci body (x_1, y_1),\ldots,(x_{n},y_{n}) . Teda platí

\begin{array}{ccccl}p_{n-1}^{(0,n-1)}(x_i) & = & y_i & \qquad & \text{pre }i \in \{0,\ldots,n-1\} \\ p_{n-1}^{(1,n)}(x_i) & = & y_i & \qquad & \text{pre }i \in \{1,\ldots,n\} \end{array}

Ľahko je možné overiť, že polynóm

p_n(x) = \frac{1}{x_n - x_0} \left[(x_n - x)p_{n-1}^{(0,n-1)}(x) + (x-x_0)p_{n-1}^{(1,n)}(x) \right]

je interpolačný polynóm pre danú množinu n+1 bodov. Označme teraz

\begin{array}{cclcl}a_n & = & [x^n]p_n(x) & \qquad & =: f[x_0,\ldots,x_n], \\ a_{n-1}^{0} & = & [x^{n-1}] p_{n-1}^{(0,n-1)}(x) & \qquad & =: f[x_0, \ldots, x_{n-1}], \\ a_{n-1}^{1} & = & [x^{n-1}] p_{n-1}^{(1,n)}(x) & \qquad & =: f[x_1,\ldots,x_n], \end{array}

tak platí

f[x_0,\ldots,x_n] = \frac{f[x_1,\ldots,x_n] - f[x_0,\ldots,x_{n-1}]}{x_n - x_0}. \,

Ak navyše položíme a_0 = f[x_0] = f(x_0), dostávame vzťah pre výpočet koeficientov Newtonovho interpolačného polynómu, ktoré je tak možné efektívne vypočítať technikou dynamického programovania.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]