Okolie (matematika)

Okolie bodu je podmnožina topologického priestoru, ktorej otvorená podmnožina obsahuje tento bod. Okolie bodu je taká množina, že aj "blízke" body ležia stále v tejto množine. Pomocou okolia bodu sa dajú definovať pojmy uzáver a vnútro množiny, spojité zobrazenie, limita postupnosti a podobne.

Okolie v množine reálnych čísel

V množine reálnych čísel je ε-okolí (ε > 0) bodu x otvorený interval (x-ε, x+ε).

Prstencové ε-okolie bodu x je potom okolie, ktoré neobsahuje bod x, teda zjednotenie intervalov $(x - \epsilon, x) \cup (x, x + \epsilon)$.

Okolie komplexného bodu

$\delta$-okolím komplexného bodu $z_0$ označujeme všetky body z komplexnej roviny, pre ktoré platí $|z - z_0 | < \delta$, tzn. body ležiace na komplexnej rovine vo vnútri kružnice so stredom v bode $z_0$ a polomerom $\delta$.

Okolie v metrických priestoroch

V metrickom priestore $X$ máme pomocou metriky $d$ definovanú vzdialenosť bodov a zavádzame $\epsilon$-okolie bodu $x$ ako

$U_{\epsilon} (x) = \{y \in X: d(x, y) < \epsilon \}$

Všeobecná definícia

Podmnožinu $U$ topologického priestoru $(X, \tau)$ nazveme okolím bodu $x$, ak existuje otvorená podmnožina $O \in \tau$ taká, že $x \in O$. Okolie bodu $x$ označujeme $U(x)$.

Pretože vnútrajšok množiny je jej najväčšia otvorená podmnožina, je množina $U(x)$ okolím bodu $x$ práve vtedy, keď $x$ leží v jej vnútri.