Rovnobežník

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Rovnobežník

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé stranyrovnobežné.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Rovnobežník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 uhly, ktorých súčet je 2\pi (360°). Z rovnobežnosti protiľahlých strán vyplýva, že veľkosť protiľahlých strán je rovnaká, tzn.

a=|AB|=|CD|=c, \qquad d=|AD|=|BC|=b.

Z toho vyplýva, že aj veľkosť protiľahlých uhlov má rovnakú veľkosť, tzn.

\alpha=\angle DAB = \angle BCD=\gamma,\qquad \beta= \angle ABC = \angle CDA=\delta.

Pretože \alpha+\beta+\gamma+\delta=2(\alpha+\beta)=2\pi, platí

\alpha = \pi - \beta.

Všeobecne má rovnobežník rôznu veľkosť priľahlých strán, t. j. a\neq b, a uhly rôzne od pravých uhlov, t. j. \alpha\neq\beta. Ak sú priľahlé strany rovnako veľké, t. j. a=b=c=d, nazývame taký rovnobežník kosoštvorcom. Ak sú uhly pravé, t. j. \alpha=\beta=\gamma=\delta=\pi/2, nazývame taký rovnobežník obdĺžnikom. Rovnobežník, ktorý je kosoštvorcom a obdĺžnikom zároveň nazývame štvorcom.

Uhlopriečky rovnobežníka sa vzájomne polovičiek. Dĺžky uhlopriečok sú:

e = |AC| = \sqrt{ a^2+d^2+2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a + h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,,
f = |BD| = \sqrt{ a^2+d^2-2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a - h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,.

Obsah[upraviť | upraviť zdroj]

Obsah rovnobežníka je rovný:

S = a h_a = b h_b = a b \sin\alpha,

kde a=|AB| a b=|AD| sú dĺžky priľahlých strán rovnobežníka a h_a je výška k strane AB, obdobne h_b je výška k strane AD, \alpha je vnútorný uhol medzi priľahlými stranami.

V rovine[upraviť | upraviť zdroj]

Ak sú vrcholy A,B,C,D zadané pomocou súradníc v rovine, t. j. A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), atď, je obsah rovnobežníka rovný absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:

S=\left|\det\left(\begin{array}{cc}x_B-x_A & x_D-x_A \\ y_B-y_A & y_D-y_A\end{array}\right)\right|=|(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)|.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol A s počiatkom súradnicového systému, t. j. A=(0,0), potom teda:

S=|x_By_D-x_Dy_B|.

Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru, resp. nadobjem ľubovolného n – rozmerného nadrovnobežnostenu (v n – rozmernom priestore).

V trojrozmernom priestore[upraviť | upraviť zdroj]

Ak sú vrcholy A,B,C,D zadané pomocou súradníc v priestore, t. j. A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B,y_B,z_B), atď, a zavedieme ak stranové vektory

\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,z_D-z_A),

je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora \mathbf{a}\times\mathbf{b}, kde „\times“ značí vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:

S=\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|_2 = \Big((\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\Big)^{1/2}

kde „\,\cdot\,“ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi z, t. j.

\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0),

potom:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Big(0,0,(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)\Big),

čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol A s počiatkom súradnicového systému, t. j. A=(0,0,0), potom

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(y_Bz_D-y_Dz_B,x_Dz_B-x_Bz_D,x_By_D-x_Dy_B)

vo všeobecnom prípade , respektíve:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(0,0,x_By_D-x_Dy_B)

v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi z.

Zovšeobecnením vektorového súčinu do n – rozmerného priestoru (ide o o súčin (n-1) lineárne nezávislých vektorov dĺžky n, ktorého výsledkom je vektor kolmý na všetky predchádzajúce, tvoriace s nimi, v danom poradí, pravotočivou bázou) možno úplne analogicky spočítať nadobsah ľubovoľného (n-1) – rozmerného nadrovnobežníka v n – rozmernom priestore.

V n-rozmernom (reálnom) priestore[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je rovnobežník daný dvoma postrannými vektormi v všeobecnom reálnom n – rozmernom priestore

\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n),

potom jeho obsah je daný vzťahom:

S=\sqrt{\|\mathbf{a}\|_2^2\|\mathbf{b}\|_2^2-\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle^2}=\Big((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2\Big)^{1/2},

kde „\langle\,,\,\rangle“, resp . „\,\cdot\,“ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

dosadením:

\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0,\ldots,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0,\ldots,0),

opäť dostávame známy vzťah pre obsah rovnobežníka v rovine.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Rovnoběžník na českej Wikipédii.