Kváder

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Symbol rozcestia O iných významoch výrazu Kváder pozri Kváder (rozlišovacia stránka).
Kváder
Parallelepipede.png
Objem V=a.b.c
Povrch S=2(ab+bc+ac)
Stena obdĺžnik
Počet vrcholov 8
Počet hrán 12
Počet stien 6
Uhol pri vrchole 90°
Polomer opísanej
guľovej plochy
r=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}
Polomer vpísanej
guľovej plochy
-
Duálny mnohosten -

Kváder je trojrozmerné telesomnohosten, ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov (obvykle obdĺžnikov, ale existujú i špeciálne prípady). Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky (v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú obvykle označované ako dĺžka, šírka a výška kvádra. Inak povedané kváder je kolmý rovnobežnosten, ktorého podstavou je pravouholník.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Objem  V \,\! a povrch  S \,\! kvádra sa počíta z dĺžky jeho hrán  a,b,c \,\! :

 V = a.b.c \,\!

Povrch kvádra sa rovná dvojnásobku súčtu plôch jednotlivých strán:

 S = 2.(a*b + b*c + a*c) \,\!

Kváder má tri rôzne dĺžky stenových uhlopriečok, ktoré sú dĺžkou uhlopriečok obdĺžnikov vo vzťahu k jeho stranám, a počítajú sa z Pytagorovej vety:

 u_a = \sqrt{b^2 + c^2} \,\!
 u_b = \sqrt{a^2 + c^2} \,\!
 u_c = \sqrt{a^2 + b^2} \,\!

Dĺžku uhlopriečky kvádra (vzdialenosť dvoch vrcholov, ktoré neležia na rovnakej stene) vypočítame taktiež pomocou Pytagorovej vety:

 u = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \,\!

uhly medzi stenami a uhlopriečkami:

\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}}
\beta=\operatorname{arctg}\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2}}
\gamma=\operatorname{arctg}\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}

Kváder má šesť stien obdĺžnikového tvaru (v špeciálnych prípadoch dve štvorcové a štyri obdĺžnikové alebo šesť štvorcových) z ktorých dve protiľahlé sú vždy zhodné, osem vrcholov a dvanásť hrán z ktorých štvorice rovnobežných majú vždy zhodnú dĺžku.

Rozvinutá plocha kvádra

Súmernosť[upraviť | upraviť zdroj]

  • Kváder je stredovo súmerný podľa priesečníka svojich telesových uhlopriečok.
  • Kváder je osovo súmerný podľa troch osí - spojníc stredov protiľahlých stien.
  • Kváder je rovinne súmerný podľa troch rovín. Každá z týchto rovín je rovnobežná s niektorou zo stien kvádra a prechádza priesečníkom uhlopriečok kvádra.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • Každé dve steny kvádra sú rovnobežné alebo kolmé. Každé dve hrany kvádra sú rovnobežné alebo kolmé.
  • Eulerova formula (počet plôch (S), vrcholov (V), a hrán (E) kvádra je možné vyjadriť vzorcom
S + V = E + 2, čo v našom prípade je 6 + 8 = 12 + 2.

Špeciálny prípad[upraviť | upraviť zdroj]

Pravidelný štvorboký hranol[upraviť | upraviť zdroj]

Špeciálnym prípadom kvádra pre  a = b \,\! je pravidelný štvorboký hranol. Ten má najmenej jednu dvojicu protiľahlých stien štvorcovú - túto potom nazývame základňa alebo podstava. Tretiu hranu kvádra (nenachádzajúcu sa na podstave) potom nazývame výška hranola  v = c \,\! .

Vzorce pre objem a povrch sa zjednodušia na:

  •  V = a^2.v \,\!
  •  S = 2.a^2 + 4.a.v \,\!

Kocka[upraviť | upraviť zdroj]

Špeciálnym prípadom kvádra (a zároveň špeciálnym prípadom pravidelného štvorbokého hranola pre   a = b = c \,\! je kocka.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]