Stredová súmernosť
z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Stredová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený bodom S, je také zhodné zobrazenie v rovine, alebo v trojrozmernom priestore, ktoré bodu S (nazývanému stred zobrazenia) priradí ten istý bod, a k bodu A ktorý neleží v bode S priradí bod A’, pričom zároveň platí: vzdialenosť [A,S]=[A’,S] a úsečka [A,A’] leží na priamke prechádzajúcej bodom S. Stredová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly, jedná sa teda o jedno zo zhodných zobrazení v rovine (alebo priestore).
Obsah |
[upraviť] Definícia
Stredová súmernosť priamky, roviny alebo priestoru so stredom v bode S (tzv. stred súmernosti) je také zobrazenie, ktoré zobrazuje stred S na seba samého a bod A rôzny od S na bod 
, ktorý sa nachádza na polopriamke opačnej k SA v rovnakej vzdialenosti od S ako bod A (čiže pre neho platí 
).
Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za stredovo súmerný, pokiaľ je v nejakej stredovej súmernosti obrazom samého seba. Stred tejto stredovej súmernosti potom nazývame stredom súmernosti objektu.
[upraviť] Príklady
- Úsečka alebo zjednotenie dvoch úsečiek rovnakej dĺžky je príkladom stredovo súmerných objektov na priamke.
- Oproti tomu žiadna polpriamka nie je na priamke stredovo súmerná.
- Obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, pravidelný šesťuholník a kruh sú príkladmi stredovo súmerných geometrických útvarov v rovine.
- Oproti tomu žiaden mnohouholník s nepárnym počtom vrcholov (napr. trojuholník) nie je stredovo súmerný.
- Hyperbola a elipsa sú stredovo súmerné rovinné útvary, ale parabola stredovo súmerná nie je.
- Kocka, guľa, valec sú stredovo súmerné geometrické objekty v priestore.
[upraviť] Vlastnosti
Stredová súmernosť s pevne daným stredom je sama sebe inverzným zobrazením. Zložením dvoch stredových súmerností s rovnakým stredom vzniká identita.
Okrem vzdialeností zachováva stredová súmernosť v rovine i orientáciu - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v stredovej súmernosti je opäť v smere hodinových ručičiek (čo napr. neplatí pre osovú súmernosť).
Stredová súmernosť so stredom v bode S je v rovine zhodná s otočením o 180 stupňov podľa stredu S. V priestore, nemá zmysel hovoriť o otočení okolo bodu, ale iba okolo osi.
Stredová súmernosť je involúciou, pretože bod S je samodružný a každá priamka prechádzajúca týmto bodom je taktiež samodružná.
