Mnohosten

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Všeobecný mnohostenu

Mnohosten alebo polyéder je teleso ohraničené rovinnými mnohouholníkmi. Mnohosten je trojrozmerné geometrické teleso, ktorého povrch sa skladá z konečného množstva stien tvorených pravidelnými alebo nepravidelnými mnohouholníkmi.

Pojem mnohosten sa niekedy používa aj pre označenie n-rozmerného útvaru (napr. n-rozmerný simplex).

Všeobecne[upraviť | upraviť zdroj]

Mnohosten má povrch skladajúci sa z mnohouholníkových stien, ktoré sa pretínajú v úsečkami vytvorených hranách. Body, v ktorých sa stretávajú (najmenej 3) hrany, sa nazývajú vrcholy. Časť priestoru ohraničeného stenami sa nazýva vnútrajšok mnohostena a je obvykle považovaný za jeho súčasť.

Mnohosteny sa označujú podľa počtu stien (4 a viac). Napríklad štvorsten (tetraéder), päťsten (pentaéder), šesťsten (hexaéder), sedemsten (heptaéder), osemsten (oktaéder), dvanásťsten (dodekaéder), dvadsaťsten (ikosaéder) a pod. Pre klasické (označované tiež. ako dôležité, vybrané, tradičné a pod.) mnohosteny existuje tiež samostatné označenie, napr. ihlan, kocka a pod.

Eulerova veta[upraviť | upraviť zdroj]

Vzťah medzi počtom vrcholov (v), hrán (h) a stien (s) konvexného mnohostenu udáva tzv. Eulerova veta

v - h + s = 2 \,\!.

Klasické (vybrané) mnohosteny[upraviť | upraviť zdroj]

Mnohosten:
a) konvexný, b) nekonvexný
Nepravidelný šesťboký ihlan
Nepravidelný štvorboký hranol

Za klasické sú považované také mnohosteny, ktoré vynikajú nad ostatnými "istým druhom dokonalosti" (pravidelností), alebo napr. historickým významom. Takéto mnohosteny majú obvykle vlastné mená.

Pravidelné mnohosteny[upraviť | upraviť zdroj]

Ak z každého vrcholu mnohostenu vychádza rovnaký počet hrán a zároveň každá stena je ohraničené rovnakým počtom hrán, potom sa mnohosten označuje ako kombinatoricky pravidelný. Ak sú navyše všetky steny pravidelné mnohouholníky, potom hovoríme, že mnohosten je (metricky) pravidelný.

Pravidelný mnohosten je teda taký, ktorého všetky steny sú zhodné pravidelné mnohouholníky.

Existuje presne päť pravidelných konvexných mnohostenov. Všetky sú známe už z dôb antiky a súhrnne sa nazývajú Platónske telesá.

Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg


Existujú presne štyri pravidelné nekonvexné mnohosteny. Súhrnne sa nazývajú Kepler-Poinsotove telesá. Oproti klasickej definíci mnohostena neleží celá plocha každej steny týchto telies na ich povrchu, ale je „vnorená“ do vnútra. Pokiaľ by sa považovaly za steny iba viditeľné časti, neboli by už tieto mnohosteny pravidelné.

Kepler-Poinsotove telesá


Duálne mnohosteny[upraviť | upraviť zdroj]

Dvanásťsten a jeho duál

Ku každému mnohostenu existuje mnohosten duálny. Ten vznikne umiestnením vrcholov do „stredov“ stien pôvodného mnohostena a ich spojením hranami tak, že vrcholy ležiace v susedných stenách pôvodného mnohostenu sú v jeho duále spojené hranou.

Vzťah k grafom[upraviť | upraviť zdroj]

Každý mnohostěn sa vzťahuje k práve jednému grafu, ktorého vrcholy a hrany zodpovedajú vrcholom a hranám mnohostena. Vďaka tomu je možné používať teóriu grafov pre skúmanie mnohostenov.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]