Sigma-algebra

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Sigma-algebra alebo \sigma-algebra je v matematike teoretický koncept výberu podmnožín danej množiny, ktorý umožňuje napríklad zaviesť koncept miery, čo sa využíva predovšetkým v matematickej analýze na zavedenie pojmu integrál a v teórii pravdepodobnosti na budovanie teórie pravdepodobnostných priestorov.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

\sigma-algebra je usporiadaná dvojica (\Omega, S), kde \Omega je ľubovoľná množina a S \subseteq 2^\Omega, pričom platí:

  • \Omega \in S,
  • ak M \in S, potom aj \Omega \backslash M \in S,
  • ak M_1,M_2, \ldots \in S je postupnosť množín z S, potom \bigcup_{i=1}^\infty M_i \in S.

(2^\Omega je zápis pre potenčnú množinu množiny \Omega.)

Keďže triviálna \sigma-algebra (v ktorej \Omega = \emptyset) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou \Omega \neq \emptyset).

Na \sigma-algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Nie je ťažké ukázať, že každá \sigma-algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú \sigma-algebru (\Omega, S) platia nasledujúce tvrdenia:

  • ak M_1, M_2 \ldots, \in S, potom \cap_{i=1}^\infty M_i \in S,
  • ak M_1, M_2, \ldots, M_n \in S, potom \cap_{i=1}^n M_i \in S,
  • ak M_1, M_2, \ldots, M_n \in S, potom \cup_{i=1}^n M_i \in S.

Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá \sigma-algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.

Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik \sigma-algebier (teda (\Omega, S_1 \cap S_2) pre \sigma-algebry (\Omega, S_1) a (\Omega, S_2)) je znova \sigma-algebra.

Sigma-algebra generovaná množinou[upraviť | upraviť zdroj]

Ak máme danú nejakú množinu \Omega, je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou S \subseteq 2^\Omega nemusia tvoriť \sigma-algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia \sigma-algebra obsahujúca celú množinu S.

Formálne, nech je daná (neprázdna) množina \Omega a množina S \subseteq 2^\Omega. Nech S_\sigma = \bigcap\{T \supseteq S ~ | ~ T \subseteq 2^\Omega; (\Omega, T) ~ je ~ \sigma-algebra \} (teda S_\sigma je prienik všetkých systémov T podmnožín množiny \Omega, ktoré obsahujú S, a súčasne (\Omega,T) je \sigma-algebra). Potom hovoríme, že \sigma-algebra (\Omega, S_\sigma) je \sigma-algebra generovaná množinou (systémom množín) S.

Významným príkladom \sigma-algebry generovanej množinou je \sigma-algebra borelovských množín.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]