Wilksovo lambda rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Wilksovo lambda rozdelenie (iné názvy: Wilksovo rozdelenie, Wilksovo rozdelenie Lambda, Lambda rozdelenie, \Lambda-rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti (spojité). Rozdelenie dostaneme súčinom beta rozdelení. Wilksovo lambda rozdelenie je viacrozmerným analógom jednorozmerného F-rozdelenia.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Samuela S. Wilksa.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme dva matice {\mathbf A} a {\mathbf B}. Nech matica {\mathbf A}p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s m stupňami voľnosti, teda: {\mathbf A} \sim {\mathbf W_p}({\mathbf I} ; m) a nech matica {\mathbf B} má tiež p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda: {\mathbf B} \sim {\mathbf W_p}({\mathbf I} ; n), pričom platí, že m \ge p a symbolom {\mathbf I} označujeme jednotkovú maticu. Nech sú tieto dve matice nezávislé. Potom náhodná veličina \Lambda definovaná nasledovným vzťahom:

{\mathbf \Lambda} = \frac{det|{\mathbf A}|}{det|{\mathbf A} + {\mathbf B}|} = det|{\mathbf I} + {\mathbf A}^{-1}{\mathbf B}|^{-1}

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n.

Označenie[upraviť | upraviť zdroj]

V literatúre sa prevažne používa označenie veľkým gráckym písmenom lambda {\mathbf \Lambda}(p, m, n). Niekedy sa toto rozdelenie označuje aj malým gréckym písmenom lambda {\mathbf \lambda}.

Vlastnosti a vzťahy[upraviť | upraviť zdroj]

Ako už bolo v úvode spomenuté, náhodná premenná s Wilksovým lambda rozdelením vznikne ako súčin náhodných premenných s beta rozdelením. Uvažujme teda n nezávislých náhodných premenných A_1, A_2, \cdots, A_n, pričom každá z týchto náhodných premenných má beta rozdelenie, teda:

A_j \sim Beta\left( \frac{m + j - p}{2} ; \frac{p}{2} \right)

kde j = 1, 2, \cdots, p. Potom náhodná premenná definovaná ako súčin: A = \prod_{j = 1}^{p} A_j

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n, teda: A \sim \Lambda(p, m, n).

Existuje niekoľko základných vzťahov medzi \Lambda–rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením. Tieto vzťahy sa dajú odvodiť vďaka tomu, že existujú vzťahy medzi beta rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením.

  • \frac{1 - {\mathbf \Lambda}(p, m, 1)}{{\mathbf \Lambda}(p, m, 1)} \sim \frac{p}{m - p + 1}F(p ; m - p + 1)
  • \frac{1 - {\mathbf \Lambda}(1, m, n)}{{\mathbf \Lambda}(1, m, n)} \sim \frac{n}{m}F(n ; m)
  • \frac{1 - \sqrt{{\mathbf \Lambda}(p, m, 2)}}{\sqrt{{\mathbf \Lambda}(p, m, 2)}} \sim \frac{p}{m - p + 1}F(2p ; 2(m - p + 1))
  • \frac{1 - \sqrt{{\mathbf \Lambda}(2, m, n)}}{\sqrt{{\mathbf \Lambda}(2, m, n)}} \sim \frac{n}{m - 1}F(2n ; 2(m - 1))

V predchádzajúcich vzťahoch sa za parametre p a n použili postupne hodnoty 1 a 2. Pokiaľ chceme dostať nejaký vzťah aj pre iné hodnoty, musíme predpokladať, že parameter m je dostatočne veľký. V takom prípade môžeme použiť Bartlettovu asymptotickú aproximáciu, podľa ktorej platí nasledovné:

- \left[ m - \frac{p - n + 1}{2} \right] \ln\Lambda(p, m, n) \sim \chi^2(np)

pričom \chi^2(np) označuje Χ²-rozdelenie s príslušným počtom stupňov voľnosti.

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.