Χ²-rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

\chi^2-rozdelenie (iné názvy: \chi^2-rozdelenie pravdepodobnosti, chí-kvadrát rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie (pravdepodobnosti) \chi^2, rozdelenie (pravdepodobnosti) chí-kvadrát, rozdelenie (pravdepodobnosti) štvorca chí, Helmertovo-Pearsonovo rozdelenie (pravdepodobnosti)) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad gama rozdelenia.

\chi^2 rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní odhadov a intervalových odhadov neznámych parametrov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty \chi^2-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech X je náhodná premenná a nech n je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná X\chi^2-rozdelenie s n stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:


f_{n} (x) =
\begin{cases}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} & \mathrm{pre}\ x > 0
\\0 & \mathrm{pre}\ x \le 0
\end{cases}

kde označenie \Gamma(\alpha) označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x

Označenie:

  • \operatorname X \sim \chi^2(n)
  • \operatorname X \sim \chi^2_n

Ďalšie vyjadrenia a vzťahy[upraviť | upraviť zdroj]

Pokiaľ máme náhodnú premennú X, ktorá má normované normálne rozdelenie, teda X \sim N(0, 1), tak náhodná premenná Y = X^2\chi^2-rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda Y \sim \chi^2(1).

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme k nezávislých náhodných premenných X_1, ..., X_k, pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda X_j \sim N(0, 1) pre j = 1, ..., k. Potom nasledovná náhodná premenná:

X = \sum_{j=1}^{k}X_{j}^{2}

\chi^2-rozdelenie s k stupňami voľnosti, teda X \sim \chi^2(k).

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

\mu_r = \frac{2^r \Gamma(r + \frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})}

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej X:

  • \operatorname E(X) = n
  • \operatorname D(X) = 2n

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

\gamma_1 = \frac{2}{\sqrt{\frac{n}{2}}}

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

\gamma_2 = \frac{12}{n}

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

F_X(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}\int_0^x t^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}\mathrm{d}t

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra n nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

\frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} = \frac{X - n}{\sqrt{2n}}

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra n väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

Kritické hodnoty[upraviť | upraviť zdroj]

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech X je náhodná premenná s \chi^2 rozdelením s n stupňami voľnosti. Potom hodnoty \operatorname\chi^2(n, \alpha), ktoré náhodná premenná X presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou \alpha nazývame kritické hodnoty \chi^2-rozdelenia. Matematicky zapísané:

P(X > \chi^2(n, \alpha)) = \int_{\chi^2(n, \alpha)}^{\infty} f_{n}(x) \mathrm{d}x = \alpha

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
  • ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.