Χ²-rozdelenie

$\chi^2$-rozdelenie (iné názvy: $\chi^2$-rozdelenie pravdepodobnosti, chí-kvadrát rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie (pravdepodobnosti) $\chi^2$, rozdelenie (pravdepodobnosti) chí-kvadrát, rozdelenie (pravdepodobnosti) štvorca chí, Helmertovo-Pearsonovo rozdelenie (pravdepodobnosti)) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad gama rozdelenia.

$\chi^2$ rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní odhadov a intervalových odhadov neznámych parametrov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty $\chi^2$-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná a nech $n$ je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná $X$ má $\chi^2$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f_{n} (x) = \begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} & \mathrm{pre}\ x > 0 \\0 & \mathrm{pre}\ x \le 0 \end{cases}$

kde označenie $\Gamma(\alpha)$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x$

Označenie:

• $\operatorname X \sim \chi^2(n)$
• $\operatorname X \sim \chi^2_n$

Ďalšie vyjadrenia a vzťahy

Pokiaľ máme náhodnú premennú $X$, ktorá má normované normálne rozdelenie, teda $X \sim N(0, 1)$, tak náhodná premenná $Y = X^2$ má $\chi^2$-rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda $Y \sim \chi^2(1)$.

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme $k$ nezávislých náhodných premenných $X_1, ..., X_k$, pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda $X_j \sim N(0, 1)$ pre $j = 1, ..., k$. Potom nasledovná náhodná premenná:

$X = \sum_{j=1}^{k}X_{j}^{2}$

má $\chi^2$-rozdelenie s $k$ stupňami voľnosti, teda $X \sim \chi^2(k)$.

Vlastnosti

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

$\mu_r = \frac{2^r \Gamma(r + \frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})}$

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej $X$:

• $\operatorname E(X) = n$
• $\operatorname D(X) = 2n$

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

$\gamma_1 = \frac{2}{\sqrt{\frac{n}{2}}}$

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

$\gamma_2 = \frac{12}{n}$

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

$F_X(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}\int_0^x t^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}\mathrm{d}x$

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra $n$ nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

$\frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} = \frac{X - n}{\sqrt{2n}}$

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra $n$ väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

Kritické hodnoty

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná s $\chi^2$ rozdelením s $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnoty $\operatorname\chi^2(n, \alpha)$, ktoré náhodná premenná $X$ presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritické hodnoty $\chi^2$-rozdelenia. Matematicky zapísané:

$P(X > \chi^2(n, \alpha)) = \int_{\chi^2(n, \alpha)}^{\infty} f_{n}(x) \mathrm{d}x = \alpha$

Zdroje

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320. (slovenčina)
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán. (slovenčina)
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150. (slovenčina)
• ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
• BARNOVSKÁ, Mária, kol.Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156. (slovenčina)
• POTOCKÝ, Rastislav, kolektívZbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388. (slovenčina)