Gama rozdelenie

Gama rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a $\chi^2$-rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.

Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.

Definícia

Nech $X$ je náhodná veličina a nech $\alpha \in R^{+}$ a $\beta \in R^{+}$. Hovoríme, že táto náhodná veličina $X$ má gama rozdelenie s parametrami $\alpha$ a $\beta$, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} & \mathrm{pre}\ x > 0 \\0 & \mathrm{pre}\ x \le 0 \end{cases}$

kde označenie $\Gamma(\alpha)$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x$

Parameter $\alpha$ nazývame parameter tvaru a $\beta$ zase paramater škály.

Označenie:

• $\operatorname X \sim Gama (\alpha, \beta)$
• $\operatorname X \sim \Gamma (\alpha, \beta)$

Ďalšie vyjadrenia

Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.

Nech $X$ a $Y$ sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami $\operatorname(\alpha, \beta_1)$ a $\operatorname(\alpha, \beta_2)$, ďalej nech pre parametre platí nasledovné: $\alpha \in R^{+}$, $\beta_1 \in R^{+}$ a $\beta_2 \in R^{+}$. Potom náhodná veličina $\operatorname Z = X + Y$, má tiež gama rozdelenie s parametrami $\operatorname(\alpha, \beta_1 + \beta_2)$

Majme $n$ nezávislých náhodných premenných $X_1, ..., X_n$, pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami $(\alpha, \beta_1), \cdots, (\alpha, \beta_n)$. Pre parametre platí: $\alpha \in R^{+}$ a $\beta_j \in R^{+}$ pre $j = 1, \cdots, n$. Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:

$X = \sum_{j = 1}^{n} X_j$

má tiež gama rozdelenie s parametrami $(\alpha, \sum_{j=1}^{n}\beta_j)$.

Vzťah k iným rozdeleniam

Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter $\alpha = 1$, tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom $\beta$, teda:

$f(x) = \frac{\beta^{1}}{\Gamma(1)}x^{1-1}e^{-\beta x} = \beta e^{-\beta x}$

Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter $\alpha = \frac{n}{2}$, pričom $n$ je celé kladné číslo a druhý parameter $\beta = 2$, tak dostaneme $\chi^2$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda $\chi^2(n)$

Vlastnosti

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

$\mu_r = \frac{\Gamma(r + \alpha)}{\beta^r \Gamma(\alpha)}$

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej $X$:

• $\operatorname E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$
• $\operatorname D(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$

Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:

$\operatorname \gamma_1 = \frac{2}{\sqrt{\alpha}}$

Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:

$m(t) = (\frac{\beta}{\beta - t})^{\alpha}$

pre $t < \beta$.

Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:

$\varphi(t) = \frac{\beta^{\alpha}}{(\beta - it)^{\alpha}}$

pričom pre parametre platí: $\alpha > 0$, $\beta > 0$ a $t \in R$.

Poznámky

• V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen $\alpha$ a $\beta$ sa zvyknú používať písmená našej abecedy, $a$ a $b$ (pričom v niektorej literatúre potom parameter $\alpha$ zodpovedá $b$ a parameter $\beta$ zodpovedá $a$).

Zdroje

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320. (slovenčina)
• ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261. (slovenčina)
• BARNOVSKÁ, Mária, kol.Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156. (slovenčina)
• HARMAN, Radoslav. Stochastické simulačné metódy [online]. [Cit. 2012-03-24]. Kapitola Generovanie realizácií spojitých náhodných premenných a vektorov. Dostupné online. (slovenčina)