Gama rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Gama rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a \chi^2-rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.

Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech X je náhodná veličina a nech \alpha \in R^{+} a \beta \in R^{+}. Hovoríme, že táto náhodná veličina X má gama rozdelenie s parametrami \alpha a \beta, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:


f(x) =
\begin{cases}
\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} & \mathrm{pre}\ x > 0
\\0 & \mathrm{pre}\ x \le 0
\end{cases}

kde označenie \Gamma(\alpha) označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x

Parameter \alpha nazývame parameter tvaru a \beta zase paramater škály.

Označenie:

  • \operatorname X \sim Gama (\alpha, \beta)
  • \operatorname X \sim \Gamma (\alpha, \beta)

Ďalšie vyjadrenia[upraviť | upraviť zdroj]

Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.

Nech X a Y sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami \operatorname(\alpha, \beta_1) a \operatorname(\alpha, \beta_2), ďalej nech pre parametre platí nasledovné: \alpha \in R^{+}, \beta_1 \in R^{+} a \beta_2 \in R^{+}. Potom náhodná veličina \operatorname Z = X + Y, má tiež gama rozdelenie s parametrami \operatorname(\alpha, \beta_1 + \beta_2)

Majme n nezávislých náhodných premenných X_1, ..., X_n, pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami (\alpha, \beta_1), \cdots, (\alpha, \beta_n). Pre parametre platí: \alpha \in R^{+} a \beta_j \in R^{+} pre j = 1, \cdots, n. Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:

X = \sum_{j = 1}^{n} X_j

má tiež gama rozdelenie s parametrami (\alpha, \sum_{j=1}^{n}\beta_j).

Vzťah k iným rozdeleniam[upraviť | upraviť zdroj]

Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter \alpha = 1, tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom \beta, teda:

f(x) = \frac{\beta^{1}}{\Gamma(1)}x^{1-1}e^{-\beta x} = \beta e^{-\beta x}

Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter \alpha = \frac{n}{2}, pričom n je celé kladné číslo a druhý parameter \beta = 2, tak dostaneme \chi^2-rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda \chi^2(n)

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

\mu_r = \frac{\Gamma(r + \alpha)}{\beta^r \Gamma(\alpha)}

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej X:

  • \operatorname E(X) = \frac{\alpha}{\beta}
  • \operatorname D(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}

Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:

\operatorname \gamma_1 = \frac{2}{\sqrt{\alpha}}

Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:

m(t) = (\frac{\beta}{\beta - t})^{\alpha}

pre t < \beta.

Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:

\varphi(t) = \frac{\beta^{\alpha}}{(\beta - it)^{\alpha}}

pričom pre parametre platí: \alpha > 0, \beta > 0 a t \in R.

Poznámky[upraviť | upraviť zdroj]

  • V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen \alpha a \beta sa zvyknú používať písmená našej abecedy, a a b (pričom v niektorej literatúre potom parameter \alpha zodpovedá b a parameter \beta zodpovedá a).

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
  • PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • HARMAN, Radoslav. Stochastické simulačné metódy [online]. [Cit. 2012-03-24]. Kapitola Generovanie realizácií spojitých náhodných premenných a vektorov. Dostupné online.