Cantorov paradox

Cantorov paradox je poznatok publikovaný Georgom Cantorom roku 1899, ktorý spolu s ďalšími výsledkami podobného typu (označovanými ako antinómia alebo paradoxy naivnej teórie množín) viedol ku kríze klasickej naivnej teórie množín a ich následnému nahradeniu axiomatickým systémom.

Podstata paradoxu

Uvažujeme o množine $\mathbb {V} \,\!$ všetkých množín. Podľa Cantorovej vety má množina všetkých jej podmnožín (ich potenčná množina) $\mathbb {P} (\mathbb {V} )\,\!$ väčšiu mohutnosť, ako samotná $\mathbb {V} \,\!$ . Existuje teda množina, ktorá sa nedá vzájomne jednoznačne zobraziť do množiny všetkých množín, a teda ani do sebe samej – čo je samozrejme nezmysel.

Riešenie paradoxu

V dobe publikovania nebola Cantorovmu paradoxu prikladaná veľká váha s tým, že sa odohráva na príliš veľkých množinách (množina všetkých podmnožín množiny všetkých množín). Preto sa takisto vžilo označenie paradox, napriek tomu, že v skutočnosti išlo o spor v klasickej definícii množiny ako „súboru objektov (prvkov) vymedzených pomocou operácie nájdenie“.

Až neskôr, spoločne s ďalšími „paradoxmi“, z ktorých ako najdôležitejší sa ukázal Russellov paradox, viedol tento výsledok ku kompletnému prepracovaniu základov teórie množín na axiomatickom základe – pozri Zermelova-Fraenkelova teória množín.

V axiomatickej teórii množín už nemožno skonštruovať vyššie uvedenú množinu $\mathbb {V} \,\!$ – súbor všetkých množín nie je množina, ale vlastná trieda, a o jej potenčnej množine teda nemá vo svete teórie množín zmysel hovoriť.

Pozri aj