Cauchyho veta o strednej hodnote

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Cauchyho veta o strednej hodnote alebo Cauchyho veta o prírastku funkcie je matematická veta v diferenciálnom počte pomenovaná podľa Augustina Louisa Cauchyho.

Znenie vety[1][upraviť | upraviť zdroj]

Nech, funkcie, pre ktoré platí:

  1. sú spojité na <a,b>,
  2. v každom bode z intervalu (a,b) majú vlastnú alebo nevlastnú deriváciu.

Potom existuje bod tak, že platí

Ak navyše platia podmienky:

  1. ,
  2. ,

potom možno uvedenú rovnosť prepísať ako

Dôkaz[1][2][upraviť | upraviť zdroj]

Definujme

Funkcia F(x) spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety o strednej hodnote, a preto existuje tak, že

Keďže ale platí F(a) = F(b), musí platiť F'(c) = 0, čo dosadením do vzorca pre deriváciu F v bode c implikuje

z čoho už priamo plynie prvá časť dokazovaného tvrdenia.

Na to, aby bolo možné prepísať rovnosť do ekvivalentného tvaru, musí platiť , ako aj . Prvá z podmienok je zaručená v predpokladoch vety, ostáva ukázať, že z predpokladu vyplýva . Ale keby platilo , muselo by podľa dokázaného vzťahu platiť , čo ale nie je možné, keďže oba činiteľe sú z predpokladov vety nenulové.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. a b Kubáček, Z.: Matematická analýza pre informatikov.
  2. Neubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]