Rollova veta o strednej hodnote

Rollova veta o strednej hodnote alebo skrátene Rollova veta (často nesprávne Rolleho veta...), pomenovaná po Michelovi Rollovi, je veta v diferenciálnom počte, ktorá hovorí, že pre každú reálnu funkciu, spojitú na uzavretom intervale, ktorá má vo vnútri daného intervalu konečnú alebo nekonečnú deriváciu, a ktorá v krajných bodoch daného intervalu nadobúda rovnaké hodnoty, existuje vnútri daného intervalu nulový bod jej prvej derivácie.

Znenie vety

Nech $f:\langle a,b\rangle \to \mathbb {R}$ je funkcia spĺňajúca nasledujúce predpoklady:

1. f je spojitá na <a,b>,
2. f má na (a,b) konečnú alebo nekonečnú deriváciu,
3. f(a) = f(b).

Potom existuje bod $c\in (a,b)$ taký, že $f'(c)=0$.

Dôkaz

Ak je f konštantná, tvrdenie platí pre všetky body $c\in (a,b)$. Nech teda nie je konštantná. Potom, zo spojitosti, existuje bod $c\in (a,b)$ taký, že f v ňom nadobúda svoje supremum alebo infimum. Keďže derivácia f v ňom existuje, nutne musí platiť f'(c) = 0.

Pozri aj

• Lagrangeova veta o strednej hodnote
• Cauchyho veta o strednej hodnote

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Rollova veta o strednej hodnote