Reálne číslo

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Reálne číslo je každé číslo patriace do množiny reálnych čísel.

Reálne čísla môžu byť:

Exaktne sa reálne čísla dajú zadefinovať viacerými spôsobmi, napr. axiomatickým zavedením (pozri nižšie), pomocou Dedekindových rezov alebo Cauchyho postupnosťami.

Množina reálnych čísel, axiomatické zadefinovanie[upraviť | upraviť zdroj]

Množina reálnych čísel je ľubovoľná množina (budeme ju označovať R; iné spôsoby značenia:  \mathbb{R} , alebo Unicode ℝ – U+211D), na ktorej sú zadefinované ľubovoľné dve binárne operácie, označme ich + a *, ktorá spĺňa nasledovné vlastnosti:

  • R tvorí s operáciami + a * pole (algebra), pričom neutrálny prvok operácie + budeme symbolicky označovať 0 a neutrálny prvok operácie * symbolicky 1,
  • pole R je usporiadané, inými slovami, existuje na ňom (nejaké) totálne usporiadanie, označme ho ≤, také, že pre všetky reálne čísla x, y a z platí:
    • ak x > y, potom x + z > y + z,
    • ak x > 0 a súčasne y > 0, potom x*y > 0,
  • uvedené usporiadanie je dedekindovsky úplné, teda každá zhora ohraničená neprázdna podmnožina množiny Rsupremum (najmenšie horné ohraničenie) tiež v R.

Posledná vlastnosť odlišuje množinu reálnych čísel od racionálnych. Napríklad množina všetkých racionálnych čísel menších ako druhá odmocnina z 2 má horné ohraničenie (napríklad 1,5), ale jej najmenšie horné ohraničenie -- supremum (odmocnina z 2) nie je racionálne číslo.

Reálne čísla sú týmito vlastnosťami úplne určené. Ak teda existujú dve rôzne množiny (presnejšie polia) R1 a R2, potom existuje jedinečný izomorfizmus medzi nimi, a sú vzhľadom na tieto vlastnosti prakticky rovnaké.

Množinu prirodzených čísel N možno definovať, ako najmenšiu podmnožinu množiny R s vlastnosťami

  1. 0\in N
  2. ak x\in N, tak x+1\in N

V tejto definícii je aj nula prirodzené číslo.