Spojitá funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Spojitá funkcia je pojem z matematickej analýzy, ktorý označuje takú funkciu, že pri veľmi malej zmene hodnoty sa funkčná hodnota zmení veľmi málo. Za istej dodatočnej okolnosti si definíciu spojitosti možno čiastočne preložiť jednoduchou predstavou, že graf spojitej funkcie sa nikde nepretrhne, respektíve sa dá nakresliť súvislou čiarou. Dodatočnou okolnosťou k tejto predstave je, že definičný obor funkcie musí byť interval. Všetky základné elementárne matematické funkcie sú spojité.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Hovoríme, že funkcia je spojitá v bode , ak platí


Ekvivalentná definícia znie, že funkcia je v bode spojitá ak pre každé kladné existuje kladné , že pre všetky z definičného oboru funkcie , pre ktoré platí, že

Pojem spojitosti možno zaviesť aj pre funkcie ktorých definičný obor a obor hodnôt sú odlišné od reálnych čísel. Vyžaduje sa pri tom len dodatočná štruktúra, ktorá umožňuje hovoriť o nejakej blízkosti resp. vzdialenosti bodov. Pojem spojitosti sa priamočiaro zovšeobecňuje na funkcie zobrazujúce metrický priestor do metrického priestoru. Ak sú metrické priestory a tak hovoríme, že je spojitá v bode , ak je pravda .

Ešte všeobecnejšie hovoríme o spojitosti pre zobrazenie topologických priestorov.


Definícia pomocou limity[upraviť | upraviť zdroj]

Pomocou pojmu limita možno spojitosť funkcie definovať takto. Funkcia je spojitá v bode práve vtedy keď

A obdobne v každom metrickom priestore.

Vlastnosti spojitých funkcií z do [upraviť | upraviť zdroj]

  • Ak je funkcia spojitá ( je uzavretý interval) a číslo leží medzi hodnotami , tak existuje číslo také, že . Toto tvrdenie má široké uplatnenie v numerických metódach riešenia rovníc. Napríklad funkcia má hodnoty . Takže vieme, že niekde v intervale existuje číslo také, že .
  • Spojitá funkcia je ohraničená a nadobúda maximálnu a minimálnu hodnotu. V tomto tvrdení nemožno uzavretý interval nahradiť (polo)otvoreným. Napríklad funkcia je spojitá, je aj ohraničená, ale nenadobúda minimum ani maximum. A zase funkcia je spojitá ale nie je ani ohraničená.

Princíp spojitého rozšírenia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech funkcie a sú spojité funkcie (zľava, resp. zprava spojité) v bode . Ak v každom okolí (resp. v ľavom, pravom okolí) bodu existuje bod taký, že , potom

Weierstrassova veta o ohraničenosti spojitej funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Ak funkcia je spojitá na potom je ohraničená na .


Weierstrassova veta o maxime a minime spojitej funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Ak funkcia je spojitá na potom také, že , pre

Nespojité funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Ak funkcia nie je v niektorom bode svojho definičného oboru spojitá, tak hovoríme, že je nespojitá, resp. že má v danom bode bod nespojitosti. Poznamenajme, že nanpríklad funkcia je na svojom definičnom obore spojitá funkcia v zmysle definície. Práve tento príklad ukazuje na nedokonalosť definície spojitej funkcie cez možnosť nakresliť súvisle jej graf. Príkladom nespojitej funkcie je funkcia signum - je nespojitá v bode 0. Platí pre ňu

Iný známy príklad je takzvaná Dirichletova funkcia, ktorá priraďuje racionálnemu číslu hodnotu 1 a iracionálnemu hodnotu 0:

Táto funkcia je nespojitá v každom reálnom čísle.