Metrický priestor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Metrický priestor je matematická štruktúra, ktorá na danej neprázdnej množine umožňuje zadefinovať pojem vzdialenosti. Pozostáva z neprázdnej základnej množiny X a funkcie d, nazývanej metrika na X, ktorá každej dvojici bodov zo základnej množiny X priraďuje ich vzdialenosť, pričom sú pre ňu splnené isté podmienky. Metrický priestor sa definuje ako usporiadaná dvojica (X,d). Na jednej základnej množine môže byť definovaných aj viacero metrík, preto metrický priestor nie je svojou základnou množinou jednoznačne určený.

Motiváciou pre štúdium metrických priestorov je snaha o vystihnutie podstaty konceptov konvergencie a spojitosti a ich zovšeobecnenie z oborov reálnych alebo komplexných čísel do ľubovoľného oboru, ktorý tvorí metrický priestor.

Metrické priestory umožňujú okrem iného dobre definovať pojem otvorenej a uzavretej množiny. Tieto sa potom využívajú pri ďalšom zovšeobecnení - topologických priestoroch, na ktorých nie je definovaná vzdialenosť medzi dvoma bodmi, ale len trieda otvorených podmnožín, spĺňajúca isté základné podmienky vyplývajúce z teórie metrických priestorov.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Metrický priestor je usporiadaná dvojica (X,d), kde X je neprázdna množina a d je zobrazenie d: X^2 \to \mathbb{R} na usporiadaných dvojiciach prvkov X, nazývané metrika na X, pre ktoré sú splnené nasledujúce podmienky:

  1. d(x,y) \geq 0 a d(x,y) = 0 \iff x = y.
  2. d(x,y) = d(y,x) \, (symetria).
  3. d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) (trojuholníková nerovnosť).

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • Simmons, G. F.: Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

  • FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.