Dôkaz sporom

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Dôkaz sporom alebo dôkaz per absurdum je dôkaz pomocou zákona reductio ad absurdum, teda dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A.

Inými slovami je dôkaz sporom toto: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Alebo slovne: Ak z nejakého predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A.

Je to obmena/špeciálna forma nepriameho dôkazu.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Ako príklad dokážeme, že nie je racionálne číslo. Dokazujeme nepriamo. Predpokladáme, že je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla a také, že

pričom je rôzne od nuly a a nesúdeliteľné.

Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že . Z nenulovosti vyplýva , teda číslo je párne. Keďže je štvorec, znamená to, že aj samo je párne a možno ho teda vyjadriť v tvare kde je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom zistíme, že , z čoho po upravení dostaneme ,čo znamená, že aj je párne číslo. Znovu, keďže je štvorec, znamená to, že aj je párne. Takto sme dokázali, že aj sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že a sú nesúdeliteľné.