Derivácia v smere

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Derivácia v smere, presnejšie derivácia diferencovateľnej funkcie viacerých reálnych premenných v smere daného vektora „V“ v danom bode „P“, je koncept, ktorý formalizuje intuitívnu predstavu "sklonu" rezu danej funkcie rovinou určenou (jednotkovým) vektorom „V“ a osou závislej premennej v bode „P“. Derivácia v smere teda určuje mieru rastu funkcie, ak všetky závislé premenné meníme v smere vektora „V“. Je teda zovšeobecnením konceptu parciálnej derivácie, pri ktorej je tento smer vždy rovnobežný s niektorou zo súradnicových osí - parciálna derivácia je teda špeciálnym prípadom derivácie v smere. Derivácia v smere je zas špeciálnym prípadom tzv. Gâteauxovej derivácie.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Derivácia funkcie

v smere vektora

je funkcia definovaná ako limita

Niekedy sa derivácia v smere označuje aj ako alebo . Ak je funkcia diferencovateľná v bode , tak existuje derivácia v smere ľubovoľného vektora pričom platí

,

kde označuje gradient a je skalárny súčin.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Pre derivácie v smere platia viaceré vlastnosti, ktoré platia pre klasické derivácie funkcií jednej reálnej premennej alebo pre parciálne derivácie. Konkrétne, nech f a g sú funkcie definované na okolí bodu p a diferencovateľné v p. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

  • Pre ľubovoľnú konštantu c:
  • Ak g je diferencovateľná v p a h je diferencovateľná v bode g(p), tak

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]