Kvadratický odhad

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Kvadratický odhad je úloha pri ktorej je potrebné nájsť najmenšie číslo resp. najväčšie číslo také, že: , resp. .

Ak , tak najväčšie zo všetkých takých čísel , že pre každé platí , je .

Ak , tak najväčšie zo všetkých takých čísel , že pre každé platí , je .

Pomocou týchto poznatkov, prípadne samotnej techniky doplnenia na štvorec, možno nájsť podobné odhady aj v zložitejších situáciach.

Príklady[upraviť | upraviť kód]

Nájdite najväčšie také číslo , aby nerovnosť

platila pre všetky .

Riešenie: Pravda, nie je vopred jasné, čí také číslo vôbec existuje. Nech pre . Nájdeme najväčšie možné číslo také, že , pre každé . To je ľahké, podľa vyššie uvedeného dostávame:

pre kazdé . Preto a rovnosť nastane vtedy a len vtedy, keď . Platí teda pre každé . Navyše pre nastáva rovnosť. Preto najväčšie také číslo , že pre každé platí , je .

Nájdite najmenšie také číslo , že pre každé platí .

  • Tento problém vlastne zahŕňa nasledujúce otázky:
  • a) existuje číslo také, že platí pre každé ?
  • b) Ak áno, je niektoré z takých čísel najmenšie?
  • c) Ktoré je najmenšie také číslo, ak existuje?

Na všetky tieto otázky odpovieme naraz. Keďže pre , nerovnosť platí pre niektoré práve vtedy, keď , čiže za predpokladu, že . Ak však je také číslo, že platí pre každé , tak , lebo výraz na ľavej strane vzťahu je pre každé kladný. Keďže , tak predchádzajúca nerovnosť platí pre každé vtedy a len vtedy keď pretože pre každé , pričom rovnosť nastáva pre . Nerovnosť platí práve vtedy, keď , číže . Teda ak , tak platí pre všetky . Navyše keď vezmeme a z vypočítané , tak v dostaneme rovnosť. Teda najmenšie z čísel , ktoré spĺňajú pre každé je .

Ukážme, že existujú také čísla , že nerovnosť platí pre každé , a že jedno z nich je najväčšie.

Riešenie: Všimnime si najprv, že

  • pre každé číslo . Preto platí vtedy a len vtedy, keď . Keď však , vtedy pre všetky . Navyše pravá strana výrazu je pre záporné záporná. Z toho vyplýva, že tento výraz môže platiť pre každé len vtedy, keď . Teda uvedený výraz platí pre všetky vtedy a len vtedy, keď a zároveň . Keďže , pre každé , pričom rovnosť platí pre , bude nerovnosť platiť pre všetky vtedy a len vtedy, keď . Teda platí pre každé číslo vtedy a len vtedy, keď a nerovnosť je splnená. Nerovnosť platí práve vtedy, keď .
  • Keďže vyššie uvedený zlomok je pre kladný, číslo vyhovuje nerovnostiam práve vtedy, keď , čiže práve vtedy, keď , čiže . Takto sme zistili, že nerovnosť platí pre každé číslo vtedy a len vtedy, keď . Teda je najväčšie zo všetkých takých čísel , že nerovnosť platí pre každé číslo .

Pozri aj[upraviť | upraviť kód]

Literatúra[upraviť | upraviť kód]

  • I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 64-67