L’Hospitalovo pravidlo

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

L’Hospitalove pravidlá alebo L'Hôpitalove pravidlá (vyslovuje sa lopitalove) slúžia na výpočet limít tzv. neurčitých výrazov typu a . Tieto pravidlá možno použiť tiež pri riešení neurčitých výrazov typu , , , alebo , ktoré však vhodnými úpravami prevádzame na neurčité výrazy typu alebo .

Ako prvý tieto pravidlá zverejnil Guillaume de l’Hospital v roku 1692. Tieto pravidlá však pravdepodobne boli známe už Johannovi Bernoullimu.

Znenie vety[upraviť | upraviť zdroj]

Ak máme funkcie , pre ktoré v bode c platí a , potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita , platí

kde označuje deriváciu funkcie.

Podobne v prípade, kedy máme funkcie , pre ktoré v bode c platí a . Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita , potom opäť platí vzťah

Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Ak je v bode c opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.

Úprava výrazov pre použitie l’Hospitalovho pravidla[upraviť | upraviť zdroj]

l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu alebo . Ostatné neurčité výrazy je nutno previesť na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme ďalej funkcie , ktoré v bode c naberajú hodnôt 0 alebo .

  • Ak predstavuje v c výraz , potom ho môžeme upraviť na , čo je výraz typu , alebo na , čo je výraz typu .
  • Ak predstavuje v c výraz typu , potom ho možno upraviť na , čo je výraz typu .
  • Ak predstavuje v c výraz typu , potom ho upravíme na , kde v exponente je výraz , ktorý možno ďalej upraviť na výraz alebo . Pri riešení potom využijeme toho, že .
  • Ak predstavuje v c výraz typu , potom ho upravíme na , kde v exponente je výraz , ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
  • Ak predstavuje v c výraz typu , potom ho upravíme na , kde v exponente je výraz , ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  • Výraz predstavuje pre neurčitý výraz typu . Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude
  • Neurčitý výraz typu prevedieme úpravou súčinu f(x)g(x) na podiel alebo získame tak neurčitý výraz typu alebo . Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku L'Hospitalovo pravidlo na českej Wikipédii.