z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Mnohočlen alebo polynóm je súčet alebo rozdiel jednočlenov .
Je to výraz v tvare
p
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
a
i
x
i
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
{\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}
,
kde
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
. Čísla
a
0
,
a
1
,
.
.
.
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}
sa nazývajú koeficienty polynómu .
Funkciu
P
{\displaystyle P}
dvoch premenných
x
∈
R
,
y
∈
R
{\displaystyle x\in R,y\in R}
označíme ako polynóm, ak existujú prirodzené čísla
n
,
m
{\displaystyle n,m}
a konštanty
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
také, že platí
P
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
0
n
∑
j
=
0
m
a
i
j
x
i
y
j
{\displaystyle P(x,y)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{ij}x^{i}y^{j}}
Stupeň polynómu p(x) je najvyšší exponent x s nenulovým koeficientom. Nulový polynóm p(x) = 0 sa niekedy označuje ako polynóm stupňa −1. Stupeň polynómu sa niekedy označuje deg p(x) .
Nech sú dané polynómy v zmysle vyššie uvedenej definície:
p
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
a
i
x
i
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
{\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}
g
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
b
i
x
i
=
b
0
+
b
1
x
+
b
2
x
2
+
⋯
+
b
n
x
n
{\displaystyle g(x)=\sum _{i=0}^{n}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}}
Súčet polynómov je definovaný (pre
n
≤
m
{\displaystyle n\leq m}
)
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
(
a
0
+
b
0
)
+
(
a
1
+
b
1
)
+
.
.
.
+
(
a
n
+
b
n
)
x
n
+
b
n
+
1
x
n
+
1
+
.
.
.
+
b
m
x
m
{\displaystyle f(x)+g(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+...+(a_{n}+b_{n})x^{n}+b_{n+1}x^{n+1}+...+b_{m}x^{m}}
,
Súčin polynómov je definovaný
f
(
x
)
g
(
x
)
=
a
0
b
0
+
(
a
0
b
1
+
a
1
b
0
)
x
+
(
a
0
b
2
+
a
1
b
1
+
a
2
b
0
)
x
2
+
.
.
.
+
a
n
b
m
x
n
+
m
=
∑
i
=
0
n
∑
j
=
0
m
a
j
b
j
x
i
+
j
{\displaystyle f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+...+a_{n}b_{m}x^{n+m}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{j}b_{j}x^{i+j}}
Číslo
α
{\displaystyle \alpha }
sa nazýva koreň polynómu
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
, ak platí
p
(
α
)
=
0
{\displaystyle p(\alpha )=0}
Táto skutočnosť, spoločne so základnou vetou algebry , sa využíva pri riešení algebraických rovníc .
Nech
c
{\displaystyle c}
je číslo a nech
z
{\displaystyle z}
je zvyšok po delení
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
polynómom
x
−
c
{\displaystyle x-c}
. Potom
z
=
f
(
c
)
{\displaystyle z=f(c)}
.
Polynóm
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
je delitelný polynómom
x
−
c
{\displaystyle x-c}
práve vtedy, keď
c
{\displaystyle c}
je koreň polynómu
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
.
p
(
x
)
=
0
{\displaystyle p(x)=0}
je tzv. nulový polynóm , teda polynóm, ktorý má všetky koeficienty nulové, čiže
a
i
=
0
,
i
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle a_{i}=0,i=0,1,2,...}
p
(
x
)
=
4
{\displaystyle p(x)=4}
je polynóm nultého stupňa (konštanta)
p
(
x
)
=
2
x
+
3
{\displaystyle p(x)=2x+3}
je polynóm 1. stupňa (lineárny polynóm)
p
(
x
)
=
3
x
2
+
2
x
−
2
{\displaystyle p(x)=3x^{2}+2x-2}
je polynóm 2. stupňa (kvadratický polynóm)
p
(
x
)
=
3
x
3
−
8
x
{\displaystyle p(x)=3x^{3}-8x}
je polynóm 3. stupňa (kubický polynóm)