Základná veta algebry

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Základná veta algebry tvrdí, že každý polynóm stupňa aspoň prvého s komplexnými koeficientami má v telese komplexných čísel aspoň jeden koreň.

Formálne: Nech

kde koeficientya0, ..., an−1reálne alebo komplexné čísla, potom existuje také, že . Pomocou vety o delení polynómov z toho triviálne vyplýva nasledujúca ekvivalentné tvrdenie: potom existujú (nie nutne rozličné) komplexné čísla z1, ..., zn také, že

a teda každý polynóm nad sa úplne rozkladá na lineárne činitele nad .

Toto ukazuje, že pole komplexných čísel je na rozdiel od poľa reálnych čísel algebraicky uzavreté. Dôsledkom je, že súčin všetkých koreňov sa rovná (−1)n a0 a súčet všetkých koreňov sa rovná -an−1.