Základná veta algebry

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Základná veta algebry tvrdí, že každý polynóm stupňa aspoň prvého s komplexnými koeficientami má v telese komplexných čísel aspoň jeden koreň.

Formálne: Nech

p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0

kde koeficientya0, ..., an−1reálne alebo komplexné čísla, potom existuje \lambda\in \mathbb{C} také, že p(\lambda) = 0\,\!. Pomocou vety o delení polynómov z toho triviálne vyplýva nasledujúca ekvivalentné tvrdenie: potom existujú (nie nutne rozličné) komplexné čísla z1, ..., zn také, že

p(z)=(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n). a teda každý polynóm nad \mathbb{C} sa úplne rozkladá na lineárne činitele nad \mathbb{C}.

Toto ukazuje, že pole komplexných čísel je na rozdiel od poľa reálnych čísel algebraicky uzavreté. Dôsledkom je, že súčin všetkých koreňov sa rovná (−1)n a0 a súčet všetkých koreňov sa rovná -an−1.