Portál:Matematika/Odporúčaný článok/50 2011
V matematike, parciálna derivácia funkcie o viacerých premenných je jej derivácia vzhľadom na jednu z týchto premenných, pričom s ostatnými narábame ako s konštantami (v tomto kontexte je teda opakom úplnej derivácie, kde môžu všetky premenné meniť svoje hodnoty). Parciálne derivácie sa využívajú vo vektorovom počte a v diferenciálnej geometrii.
Parciálna derivácia funkcie f vzhľadom na premennú x sa označuje f 'x, ∂xf, alebo ∂f/∂x. Symbol ∂, označujúci parciálnu deriváciu, je zaobleným písmenom d, ktorým sa zvykne označovať bežná derivácia. Označenie zaviedol Adrien-Marie Legendre, ale všeobecne sa začal uznávať, až po jeho oživení Carlom Gustavom Jacobom Jacobim.
Úvod[upraviť zdroj]
Predpokladajme, že f je funkcia o viac ako jednej premennej, napríklad:
Je zložité určiť deriváciu takejto funkcie, keďže v každom bode tejto plochy existuje nekonečne veľa dotyčníc. Nájsť parciálnu deriváciu takejto funkcie vlastne znamená vybrať jednu z takýchto dotyčníc a určiť jej sklon. Zvyčajne nás najviac zaujíma dotyčnica, ktorá leží v rovine rovnobežnej so súradnicovou rovinou (y,z) alebo so súradnicovou rovinou (x,z).
Dobrý spôsob, ako nájsť takéto dotyčnice je považovať ostatné premenné za konštanty. Napríklad, ak vo vyššie uvedenej funkcii hodláme nájsť dotyčnicu ku krivke plochy, ktorá prechádza bodom (1, 1, 3), a ktorá leží v rovine rovnobežnej so súradnicovou rovinou (x,z), považujeme y za konštantu. Graf uvažovanej funkcie leží v rovine (y= 1) a je zobrazený na prvom obrázku. Na obrázku pod ním je rez grafom funkcie pre y= 1. Nájdením bežnej derivácie funkcie o jednej premennej, ktorá je zadaná vyššie uvedeným predpisom, pričom y považujeme za konštantu získame rovnicu požadovanej dotyčnice funkcie f rovnobežnej s osou x:
Teda v bode (1, 1, 3), je hodnota parciálnej derivácie (a teda aj tangens požadovanej dotyčnice) rovná 3 (tento poznatok získame substitúciou). Teda môžeme položiť, že
v bode (1, 1, 3).