Zlomok (matematika)

Torta, z ktorej bola odrezaná jedna štvrtina. Každá zo zvyšných troch štvrtín je označená zlomkom ${\tfrac {1}{4}}$.

Grafické znázornenie výpočtu ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {3}{4}}$

Zlomok označuje v matematike spôsob zápisu racionálneho čísla.

Zlomok sa zapisuje v tvare ${\frac {a}{b}}$ alebo $a/b$, kde $a$ a $b$ sú celé čísla, pričom $b\neq 0$, pretože nulou sa deliť nesmie. Číslo $a$ sa nazýva čitateľ, číslo $b$ sa nazýva menovateľ a čiara medzi nimi sa nazýva zlomková čiara.

Zápis pomocou zlomkov je vhodný na prevádzanie elementárnych úprav zložitejších výrazov.

Vlastnosti

Zlomok, ktorý má v menovateli nulu nie je v matematike definovaný.

Hodnota zlomku, ktorý má v čitateli nulu je vždy nulová, napr. ${\textstyle {\frac {0}{a}}=0}$.

Zlomok, ktorý má v menovateli jednotu sa rovná výrazu v čitateľovi. Napríklad

${\frac {a}{1}}=a;{\frac {{\text{sin}}(x)}{1}}={\text{sin}}(x);{\frac {e^{n}}{1}}=e^{n}$ a pod.

Zlomok, ktorý má v čitateli jednotu je prevrátená hodnota výrazu v menovateli. Napríklad

${\frac {1}{a}}=a^{-1};{\frac {1}{{\text{sin}}(x)}}={\text{sin}}^{-1}(x);{\frac {1}{e^{n}}}=(e^{n})^{-1}$ a pod.

Pokiaľ je v zlomku ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ čitateľ menší ako menovateľ ${\textstyle (a<b)}$ hovoríme o tzv. pravom zlomku, pre ktorý platí ${\textstyle {\frac {a}{b}}<1}$.

Pokiaľ je v zlomku ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ čitateľ väčší ako menovateľ ${\textstyle (a>b)}$ hovoríme o tzv. nepravom zlomku, pre ktorý platí ${\textstyle {\frac {a}{b}}>1}$.

Pokiaľ sú v zlomku ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ hodnoty čitateľa a menovateľa rovnaké ${\textstyle (a=b)}$ hovoríme o tzv. jednotkovom zlomku, pre ktorý platí ${\textstyle {\frac {a}{b}}=1}$. Napríklad

${\frac {11}{11}}={\frac {3^{3}}{27}}={\frac {4!}{24}}=1$.

Dva zlomky ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ a ${\textstyle {\frac {c}{d}}}$ majú rovnakú hodnotu vtedy a len vtedy, keď $ad=bc$ (tzn. ich podiel je 1).

Hodnota zlomku so záporným čitateľom aj záporným menovateľom je vždy kladná, napr. ${\textstyle {\frac {-2}{-4}}=0.5}$.

Hodnota zlomku so záporným čitateľom a kladným menovateľom (alebo kladným čitateľom a záporným menovateľom) je vždy záporná, napr. ${\textstyle {\frac {-2}{4}}={\frac {2}{-4}}=-\left({\frac {2}{4}}\right)=-0.5}$.

Ako základný tvar zlomku sa označuje zlomok, ktorý sa nedá viac krátiť bez toho, aby v menovateli alebo v čitateli nevznikli čísla s desatinným rozvojom respektíve základný tvar zlomku je taký zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ nemajú spoločného celočíselného deliteľa. Napríklad ${\textstyle {\frac {2}{7}}}$ alebo ${\textstyle {\frac {14}{9}}}$.

Ako dyadické zlomky sa označujú zlomky v tvare ${\textstyle {\frac {a}{2^{b}}}}$ kde ${\textstyle a,b\in \mathbb {N} }$, čiže v menovateli sa nachádza mocnina čísla dva.

Počítanie so zlomkami

So zlomkami sa dá pracovať ako s inými racionálnymi číslami, dajú sa teda sčítať, odčítať, násobiť a deliť, odmocňovať a umocňovať atď.

Sčítanie a odčítanie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

${\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}={\frac {a\pm b}{c}}$, $c\neq 0$,

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}$, $b,d\neq 0$.

Násobenie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

${\frac {a}{c}}\cdot {\frac {b}{c}}={\frac {a\cdot b}{c}}$, $c\neq 0$

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$, $b,d\neq 0$.

Delenie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké podľa vzorca

${\frac {a}{c}}\div {\frac {b}{c}}={\frac {c(a\div b)}{c}}$, $c\neq 0$.

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$, $b,c,d\neq 0$.

Odmocňovanie celého zlomku je možné rozpísať ako samostatné odmocniny čitateľa a menovateľa

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$, $b\neq 0$.

Umocňovanie celého zlomku je opäť možné rozpísať ako samostatné mocniny čitateľa a menovateľa

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$, $b\neq 0$.

Ak sa exponent ${\textstyle n=-1}$ potom platí $\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {a^{-1}}{b^{-1}}}={\frac {b}{a}}$.

Krátenie a rozširovanie zlomkov

Každý zlomok je možné krátiť alebo rozširovať konštantou ${\textstyle c}$ pričom sa nemení hodnota zlomku. Teda pre krátenie platí

${\frac {a}{b}}={\frac {a\div c}{b\div c}}$

a analogicky pre rozširovanie platí

${\frac {a}{b}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}$ .

Krátenie alebo rozširovanie zlomkov sa dá využiť na odstránenie čísel s desatinným rozvojom nachádzajúcich sa v zlomku a jeho prevedenie do základného tvaru. Napríklad

${\frac {3.2}{8}}={\frac {3.2\cdot 5}{8\cdot 5}}={\frac {16}{40}}={\frac {16\div 8}{40\div 8}}={\frac {2}{5}}$.

Porovnávanie zlomkov

Porovnať dva zlomky a určiť, ktorý z nich je menší resp. väčší resp. či sú rovnaké je možné porovnaním ich čitateľov za predpokladu, že ich menovatele sú rovnaké. V prípade, že menovatele nie sú rovnaké je nutné jeden zo zlomkov upraviť tak, aby mal v menovateli rovnakú hodnotu ako druhý. Samotná zmena menovateľa sa robí podľa vzorca

${\frac {a}{b}}={\frac {a\left({\frac {d}{b}}\right)}{d}}$

kde ${\textstyle d}$ je hodnota nového menovateľa. Napríklad

${\begin{aligned}{\frac {2}{5}}&={\frac {2(8\div 5)}{8}}={\frac {2\cdot 1.6}{8}}={\frac {3.2}{8}}=0.4\\&={\frac {2(3\div 5)}{3}}={\frac {2\cdot 0.6}{3}}={\frac {1.2}{3}}=0.4\\&={\frac {2(5\div 5)}{5}}={\frac {2\cdot 1}{5}}={\frac {2}{5}}=0.4\\\end{aligned}}$.

Z vyššie uvedeného teda vyplýva, že ${\textstyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$ platí len a iba vtedy ak platí aj ${\textstyle a\left({\frac {d}{b}}\right)<c}$, vice versa.

Pri prevádzaní zložitejších operácií na zlomky sa zlomok $a/b$ správa ako $a\cdot b^{-1}$, takže napríklad

$\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a\cdot b^{-1})=\log a-\log b$