Asymptotická hustota

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Asymptotická hustota je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota d(A) množiny A prirodzených čísel definovaná vzťahom

d(A) = \lim_{n\to\infty} \frac{A(n)}{n}

kde A(n)=\left|A\cap\{1,2,3,\ldots,n\}\right| je počet všetkých prvkov množiny A, ktoré sú menšie než prirodzené číslo n. Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina A má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.

Horná a dolná asymptotická hustota[upraviť | upraviť zdroj]

Horná asymptotická hustota podmnožiny A prirodzených čísel je číslo

\overline{d}(A) = \limsup_{n\to\infty} \frac{A(n)}{n}

zatiaľ čo jej dolná asymptotická hustota je

\underline{d}(A) = \liminf_{n\to\infty} \frac{A(n)}{n}.

Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre každú podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

A = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{n\in\mathbb{N}\,|\,2^{2n+1}-2^{2n-1}\le n \le2^{2n+1}\}.
  • O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • Ak množina A má asymptotickú hustotu, potom platí d(A^{c})=1-d(A), kde A^{c} je komplement množiny A vzhľadom k množine prirodzených čísel.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]