Dvojková číselná sústava

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
DEC BIN
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010

Dvojková číselná sústava, novšie tiež binárna číselná sústava (z lat. bis – dvakrát) je číselná sústava, ktorá zapisuje hodnoty pomocou dvoch symbolov 0 a 1. Konkrétnejšie hovoríme o pozičnej číselnej sústave so základom dva. Vďaka svojej pomerne jednoduchej implementácii v elektronických obvodoch používajú dvojkovú sústavu prakticky všetky číslicové počítače.

Prevod hodnôt (platí iba pre celé čísla)[upraviť | upraviť zdroj]

Z binárnej do desiatkovej sústavy (1. spôsob)[upraviť | upraviť zdroj]

Ak máme zadané číslo v dvojkovej sústave pomocou číslic x0, x1... xk potom jeho hodnotu v desiatkovej sústave získame takto:

x=\sum_{i=0}^k {x_i}*2^{k-i}

Príklad:

(11010110)B = 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 =
= 1 · 128 + 1 · 64 + 0 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 = 214

Číslo 11010110 v dvojkovej sústave je 214 v desiatkovej sústave.

Z binárnej do desiatkovej sústavy (2. spôsob)[upraviť | upraviť zdroj]

Ak chceme číslo zapísané v dvojkovej sústave previesť na číslo v desiatkovej sústave, sčítame hodnoty mocnín dvojky, ktoré sa v čísle vyskytujú teda tie, ktoré sú označené 1.

Príklad:

(10100)B = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 =
= 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 20

Číslo 10100 v dvojkovej sústave je 20 v desiatkovej sústave.

Z desiatkovej do binárnej sústavy (1. spôsob)[upraviť | upraviť zdroj]

Ak chceme previesť číslo z desiatkovej sústavy do dvojkovej sústavy, musíme číslo deliť základom sústavy - číslom 2, až pokiaľ nedostaneme číslo nula. Po každom delení si zapíšeme zvyšok, pričom zvyšok po prvom delení je cifra najnižšieho (nultého) rádu, zvyšok po druhom delení udáva cifru prvého rádu atď.

Príklad:

215 : 2 = 107;  zv. 1
107 : 2 = 53; zv. 1
53 : 2 = 26; zv. 1
26 : 2 = 13; zv. 0
13 : 2 = 6; zv. 1
6 : 2 = 3; zv. 0
3 : 2 = 1; zv. 1
1 : 2 = 0; zv. 1

Číslo 215 v desiatkovej sústave je 11010111 (zvyšky zapísané v poradí od konca) v binárnej sústave.

Z desiatkovej do binárnej sústavy (2. spôsob)[upraviť | upraviť zdroj]

Ak chceme číslo zapísané v desiatkovej sústave vyjadriť v dvojkovej sústave, rozložíme ho na súčet postupne sa znižujúcich sa mocnín dvojky a číslicou 0 alebo 1 zaznamenáme ich výskyt. Napríklad pri čísle 853 postupujeme takto:

  1. Nájdeme najväčšiu mocninu dvojky, ktorá sa v čísle nachádza: 29 = 512 (210 by bolo 1024).
  2. Zapíšeme 1.
  3. Potom od čísla 853 odčítame 512 a zisťujeme, či sa vo výsledku vyskytuje najbližšia mocnina 28 = 256; 853 - 512 = 341.
  4. Výskyt zase zapíšeme 1.
  5. Ďalej zisťujeme, či sa v čísle 341 - 256 = 85 vyskytuje 27 = 128.
  6. Kedže je väčšie ako 85, v tom prípade napíšeme 0.
  7. Takto pokračujeme až po 20.

Príklad:

853 = 512 + 256 + 0 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 =
= 1 · 29 + 1 · 28 + 0 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 1101010101

Číslo 853 v desiatkovej sústave je 1101010101 v binárnej sústave.

Dejiny[upraviť | upraviť zdroj]

Prvý známy opis počítacej sústavy pozostávajúcej len z dvoch znakov zaviedol staroindický matematik Pingala v 3. storočí pred Kr. Táto sústava však neobsahovala nulu.

Strana z Leibnitzovej knihy „Explication de l'Arithmétique Binaire“, 1703

Binárny humor[upraviť | upraviť zdroj]

Celkom známa je veta:

  • „Ľudí môžeme rozdeliť do 10 skupín – na tých, ktorí rozumejú binárnej sústave a tých, ktorí jej nerozumejú.“

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]