Einsteinov vzťah

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Rovnica vo Walk of Ideas v roku 2006 v Nemecku
E = mc² na taipeiskom mrakodrape Taipei 101 pri príležitosti Svetového roku fyziky 2005

Einsteinov vzťah je zákon vyjadrujúci vzťah medzi energiou E\,\! a hmotnosťou m\,\! telesa:

E = m\cdot c^2\,\!

kde c je rýchlosť svetla. Einsteinov vzťah má základný význam v modernej fyzike a astrofyzike; dokazuje, že hmotnosť telesa je mierou obsahu jeho energie.

Rovnica E = mc² opísaná Albertom Einsteinom v špeciálnej teórii relativity patrí medzi najslávnejšie rovnice všetkých dôb; poznajú ju aj ľudia, ktorí sa inak o vedu nezaujímajú. Táto rovnica sa stala akýmsi „maskotom vedy“, používa sa ako príklad „zložitej vedy“, čo pravdaže jej zložitosť preceňuje.

Rovnica popisuje vzťah medzi energiou a hmotnosťou:

Energia = hmotnosť · (rýchlosť svetla)²

Podľa tejto rovnice je celkové množstvo energie, ktorú možno z telesa získať, rovné hmotnosti telesa vynásobené druhou mocninou rýchlosťou svetla. V praxi však možno hmotu na energiu prevádzať obvykle len s výrazne nižšou účinnosťou, preto množstvo získanej energie nikdy nedosahuje tejto úrovne. Pri bežných spôsoboch získavania energie (napr. v jadrových elektrárňach) sa totiž na energiu nepremení všetka hmota, časť (obvykle drvivá väčšina) pôvodnej hmoty zostáva ako „odpad“. Príkladom teoreticky úplnej premeny je reakcia hmoty s antihmotou.

Ako historickú zaujímavosť je možné uviesť, že v pôvodnej podobe Einstein túto rovnicu napísal v tvare m = L / c² (pre energiu použil označenie L namiesto E).

Množstvo energie v jednom kilograme (ľubovolnej) hmoty je teda

  • 89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) alebo
  • 24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh ≈ celková ročná spotreba elektrickej energie na Slovensku v r. 2005),
  • čo odpovedá energii uvoľnenej pri výbuchu viac než 21 megaton TNT.

Odvodenie[upraviť | upraviť zdroj]

Nakoľko mnoho ľudí vidí v tejto rovnici niečo nepochopiteľného až nadľudského, k jej odvodeniu stačia iba základy integrálneho počtu.

Vyjdeme zo vzťahu pre kinetickú energiu Ek:

E_k =W=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v_2\ne 0)} \mathbf{F}\, d\mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, d\mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \mathbf{v}\,d\mathbf{p}=
=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v)} \mathbf{v}\,d(m.\mathbf{v})=.

Uvažujeme o pôsobení sily rovnobežne s dráhou telesa, možno vynechať vektory:

=\int_{0}^{v} v(vdm+mdv)=\int_{0}^{v}(v^2 dm+mvdv),

druhý člen možno upraviť podľa vzťahu pre relativistickú hmotnosť:

m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},
m^2=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}},
m^2(c^2-v^2)=m_0^2c^2\,\!.

Urobíme diferenciál tejto rovnice,

2mdm(c^2-v^2)+m^2 (-2vdv)=0\,\!,
dm(c^2-v^2)=mvdv\,\!

a dosadíme do pôvodnej rovnice:

E_k =\int_{0}^{v}(v^2 dm+dm(c^2-v^2))=\int_{0}^{v}(v^2 dm+c^2 dm-v^2 dm)=
=\int_{0}^{v}c^2 dm=c^2 \int_{0}^{v}1 dm=c^2 [m]_{0}^{v}=c^2(m-m_0)
E_k =mc^2-m_0 c^2\,\!.

Na ľavej strane je kinetická energie, m_0 c^2 je pokojová energia (chemická, jadrová, potenciálna).

E=E_k +E_0=mc^2\,\!

je teda celková energia telesa.