Rotácia (operátor)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Rotácia je diferenciálny operátor definovaný pre vektorové funkcie n premenných, ktorý v každom bode udáva lokálnu mieru rotácie (otáčania) definovaného týmto poľom. Značí sa \mathrm{rot}, prípadne (hlavne v anglickej literatúre) \mathrm{curl}. Je definovaný ako \nabla \times \mathbf{F} (kombinácia operátoru nabla a vektorového súčinu), v troch rozmeroch (pre funkciu troch premenných) ho možno zapísať v tvare:

\operatorname{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left (
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\right )

Rotáciu využíva napr. Stokesova veta, ktorá prevádza krivkový integrál vektorového poľa po uzavretej krivke na plošný integrál rotácie tohto vektorového poľa cez ľubovolnú plochu ohraničenú touto krivkou. Ak je rotácia vektorového poľa nulová, potom sa toto pole dá vyjadriť ako gradient skalárnej funkcie (tzv. potenciálu) a nazýva sa potenciálnym poľom.

Vlastnosti rotácie[upraviť | upraviť zdroj]

Ak označíme F, G vektorové polia, f skalárne pole, a, b reálne čísla, potom operátor rotácie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam

\nabla\times \left(a\mathbf{F}+b\mathbf{G}\right) = 
a\nabla\times \mathbf{F}+b\nabla\times\mathbf{G}.

Rotácia gradientu je nulová

\nabla\times \nabla f = \mathrm{rot} \, \mathrm{grad} \, f = \mathbf{0}.

Rotácia z vektorového poľa násobeného skalárnym poľom (vektora funkcie) je

\nabla\times \left(f \mathbf{F}\right) = 
\nabla f \times \mathbf{F}+f \nabla\times\mathbf{F}.

Rotácia z vektorového súčinu dvoch vektorových polí je

\nabla\times \left(\mathbf{F} \times \mathbf{G}\right) = 
\left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F}-\left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G}
+\mathbf{F}\left(\nabla\cdot\mathbf{G}\right)-\mathbf{G}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right),

pre rotáciu z rotácie vektorového poľa F platí

\nabla \times \left(\nabla\times \mathbf{F}\right) =
\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)-\Delta \mathbf{F}.

Vyjadrenie v rôznych sústavách súradníc[upraviť | upraviť zdroj]

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjádrenie rotácie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v daných súradniciach, potom platí

Vo valcových súradniciach[upraviť | upraviť zdroj]

\nabla \times \mathbf{F} = \left({1 \over r}{\partial F_z \over \partial \varphi}
    - {\partial F_\varphi \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat r} +
  \left({\partial F_r \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial r}\right) 
\boldsymbol{\hat \varphi} +
  {1 \over r}\left({\partial ( r F_\varphi ) \over \partial r} 
    - {\partial F_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z}

Vo sférických súradniciach[upraviť | upraviť zdroj]

\nabla \times \mathbf{F} =
  {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} ( F_\varphi\sin\theta )
    - {\partial F_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} +
  {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial F_r \over \partial \varphi} 
    - {\partial \over \partial r} ( r F_\varphi ) \right) \boldsymbol{\hat \theta} +
  {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} ( r F_\theta )
    - {\partial F_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi}

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x1,x2,x3, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h1,h2,h3

\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_2 h_3} \left(
\frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_2}-
\frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_3}
\right)\boldsymbol{\hat x}_1
+\ \ \ \ \ 
                                 \frac{1}{h_1 h_3} \left(
\frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_3}-
\frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_1}
\right)\boldsymbol{\hat x}_2
+\ \ \ \ \ 
                                 \frac{1}{h_1 h_2} \left(
\frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_1}-
\frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_2}
\right)\boldsymbol{\hat x}_3

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

\left(\nabla\times \mathbf{F}\right)^i 
\frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i} = 
\left(\varepsilon^{ijk} F_{k,j}\right)
\frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i},

kde \varepsilon^{ijk} je Levi-Civitov symbol.

Dohoda: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.