Skladanie funkcií

Majme funkcie $f : X \to Y$ a $g : Y \to Z$ (t.j. obor hodnôt prvej funkcie je rovnaký ako definičný obor druhej funkcie). Potom zložením funkcií $f$ a $g$ je nová funkcia $g \circ f : X \to Z$ , definovaná predpisom $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ . Teda výsledok prvej funkcie použijeme ako vstup pre druhú funkciu.

Skladanie funkcií je špeciálnym prípadom skladania relácií.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

$g \circ f$ - zloženie $f$ a $g$ . Napríklad $(g \circ f)(c) = #$ .

Zloženie dvoch funkcií na konečnej množine: Ak $f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}$ a $g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}$ , tak $f \circ g = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}$ .
Zloženie funkcií na nekonečnej množine: Ak $f : ℝ \to ℝ$ (kde ℝ je množina všetkých reálnych čísel) je daná $f (x) = 2 x + 4$ a $g : ℝ \to ℝ$ je daná $g (x) = x 3$ , potom:

(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4

, a

(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3

.

Ak je výška lietadla v čase $t$ daná funkciou $h (t)$ , a koncentrácie kyslíka v nadmorskej výške $x$ je daná funkciou $c (x)$ , tak zložená funkcia $(c \circ h)(t)$ predstavuje koncentráciu kyslíka okolo lietadla v čase $t$ .

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Zloženie funkcií je vždy asociatívne — túto vlastnosť má skladanie relácií vo všeobecnosti. To znamená, že ak $f$ , $g$ a $h$ sú tri funkcie (s vhodne zvolenými definičnými obormi a obormi hodnôt), tak nezáleží na tom, či naskôr zložíme $g$ a $h$ a potom zložíme $f$ s výsledkom, alebo najskôr zložíme $f$ a $g$ , a výsledok s $h$ — v oboch prípadoch bude výsledok rovnaký. Symbolicky to môžeme napísať: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ . Podobne to platí aj vtedy, keď skladáme viac ako 3 funkcie: na poradí (na uzátvorkovaní) nezáleží. Preto môžeme zátvorky vynechať.

Zloženie dvoch injektívnych (prostých) zobrazení je opäť injektívne. Podobne zloženie dvoch surjektívnych zobrazení je vždy surjektívne. Z toho vyplýva, že zložením dvoch bijekcií je tiež bijekcia. Inverzná funkcia ku zloženiu dvoch funkcií (ak sa dá invertovať) má vlastnosť, že $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ .

Zložením dvoch diferencovateľných funkcií dostaneme opäť diferencovateľnú funkciu, ktorá sa dá zderivovať pomocou reťazového pravidla.

V programovacích jazykoch[upraviť | upraviť zdroj]

Skladanie funkcií sa v rôznych formách vyskytuje v mnohých programovacích jazykoch.

Typografia[upraviť | upraviť zdroj]

Symbol zloženia ∘ má v Unicode kód U+2218 (v HTML ∘ ). V systéme TeX, sa dá zapísať pomocou \circ.