Konkávna funkcia: Rozdiel medzi revíziami

Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Pridaných 1 968 bajtov ,  pred 12 rokmi
štylistika, definície, obrázok, wikilinky
d (robot Pridal: es:Función convexa)
(štylistika, definície, obrázok, wikilinky)
[[Obrázok:Concave fnx.jpg|Graf funkcie konkávnej na intervale konkávnosti leží nad spojnicou krajných bodov tohto intervalu|thumb]]
'''Funkcia''' f(x) je '''konkávna''' na intervale [A,B], ak má táto [[funkcia]] [[dotyčnica|dotyčnicu]] na [[interval]]e [A,B], resp. v hraničných [[bod (geometria)|bodoch]] [A,B] má dotyčnice sprava alebo zľava, a ak pre každú dotyčnicu leží graf funkcie pod dotyčnicou. Inými slovami:
Spojitá konkávna funkcia na intervale <math>(a,b)</math>, je význačná tým, že jej graf leží pod každou jej zostrojenou dotyčnicou. Jednoduchou a názornou pomôckou môže byť predstava grafu konkávnej funkcie na <math>(a,b)</math> ako šálky, do ktorej nemožno naliať kávu, pretože sa vždy vyleje. Opačný prípad tvorí [[konvexná funkcia]]. Samotná definícia je analyticky odvodená z vlastností funkčných hodnôt konkávnej funkcie vzhľadom k spojnici krajných bodov intervalu konkávnosti. Možno povedať, že funkčné hodnoty konkávnej funkcie sú na intervale konkávnosti vždy nad spojnicou spomínaných krajných bodov.
*Ak funkcia f(x) je [[spojitá funkcia|spojitá]] na intervale [A,B] a má pre každý vnútorný bod intervalu [A, B] zápornú druhú [[derivácia|deriváciu]], potom je na intervale [A,B] konkávna.
*Funkcia je konkávna v intervale [A,B], ak jej [[graf]] je "otvorený nadol".
[[Obrázok:Concave fnx.jpg|left]]
<br clear="all">
 
=== Didaktická pomôcka ===
''Funkcia je v intervale [A,B] konkávna, ak sa do nádoby, ktorú v tomto intervale graf vykreslí, nedá naliať káva.''
 
==Pozri ajDefinícia==
[[Obrázok:Konkavna_konvexna_funkcia.PNG|Konkávna časť funkcie je vyznačená namodro. Graf na tomto intervale leží pod dotyčnicou. Zvyšná červená krivka označuje konvexnú časť a jej graf leží nad dotyčnicou|right|400px|thumb]]
*[[konvexná funkcia]]
Definíciu konkávnosti funkcie možno rozdeliť na definíciu konkávnosti funkcie a špeciálneho prípadu - rýdzej konkávnosti funkcie. Väčšinu elementárnych funkcií možno však považovať za rýdzo konkávne respektíve rýdzo konvexné. Príkladom môžu byť [[Polynóm|polynómy]].
===Definícia rýdzo konkávnej funkcie===
Nech ''f'' je funkcia spojitá na intervale <math>(a,b)</math>. Potom hovoríme, že funkcia ''f'' je na intervale <math>(a,b)</math> rýdzo konkávna práve vtedy, keď existuje číslo <math>\lambda\in(0,1)</math> s vlastnosťou<br />
 
<center><math>\forall x,y\in(a,b),x<y:f(\lambda x+(1-\lambda)y)>\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)</math></center>
{{matematický výhonok}}
===Definícia konkávnej funkcie===
Nech ''f'' je funkcia spojitá na intervale <math>(a,b)</math>. Potom hovoríme, že funkcia ''f'' je na intervale <math>(a,b)</math> konkávna práve vtedy, keď existuje číslo <math>\lambda\in(0,1)</math> s vlastnosťou<br />
 
<center><math>\forall x,y\in(a,b),x<y:f(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)</math></center>
[[Kategória:Matematika]]
 
==Intervaly konkávnosti==
 
Pri hľadaní intervalov, na ktorých je funkcia konkávna sa postupuje použitím druhej derivácie funkcie. Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie delia [[Inflexný bod|inflexné body]]. V týchto bodoch funkcia mení zakrivenie. Funkcia je preto rýdzo konkávna na intervale, kde <math>f''(x)<0</math>. Analogicky sa odvodí pravidlo pre interval konkávnej funkcie <math>f''(x)\leq0</math>. Daná derivácia musí existovať. To, že funkcia je diferencovateľná nevyplýva priamo z podmienky spojitosti skúmanej funkcie, preto treba pridať podmienku diferencovateľnosti.
==Pozri aj==
*[[konvexná funkcia]]
*[[inflexný bod]]
*[[extrém]]
[[Kategória:MatematikaMatematická analýza]]
 
[[cs:Konvexnost a konkávnost funkce]]
102

úprav

Navigačné menu