Konkávna funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Graf funkcie konkávnej na intervale konkávnosti leží nad spojnicou krajných bodov tohto intervalu

Spojitá konkávna funkcia na intervale , je význačná tým, že jej graf leží pod každou jej zostrojenou dotyčnicou. Jednoduchou a názornou pomôckou môže byť predstava grafu konkávnej funkcie na ako šálky, do ktorej nemožno naliať kávu, pretože sa vždy vyleje. Opačný prípad tvorí konvexná funkcia. Samotná definícia je analyticky odvodená z vlastností funkčných hodnôt konkávnej funkcie vzhľadom na spojnicu krajných bodov intervalu konkávnosti. Možno povedať, že funkčné hodnoty konkávnej funkcie sú na intervale konkávnosti vždy nad spojnicou spomínaných krajných bodov.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Konkávna časť funkcie je vyznačená namodro. Graf na tomto intervale leží pod dotyčnicou. Zvyšná červená krivka označuje konvexnú časť a jej graf leží nad dotyčnicou

Definíciu konkávnosti funkcie možno rozdeliť na definíciu konkávnosti funkcie a špeciálneho prípadu – rýdzej konkávnosti funkcie. Väčšinu elementárnych funkcií možno však považovať za rýdzo konkávne respektíve rýdzo konvexné. Príkladom môžu byť polynómy.

Definícia rýdzo konkávnej funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Nech f je funkcia spojitá na intervale . Potom hovoríme, že funkcia f je na intervale rýdzo konkávna práve vtedy, keď existuje číslo s vlastnosťou

Definícia konkávnej funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Nech f je funkcia spojitá na intervale . Potom hovoríme, že funkcia f je na intervale konkávna práve vtedy, keď existuje číslo s vlastnosťou

Intervaly konkávnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Pri hľadaní intervalov, na ktorých je funkcia konkávna sa postupuje použitím druhej derivácie funkcie. Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie delia inflexné body. V týchto bodoch funkcia mení zakrivenie. Funkcia je preto rýdzo konkávna na intervale, kde . Analogicky sa odvodí pravidlo pre interval konkávnej funkcie . Daná derivácia musí existovať. To, že funkcia je diferencovateľná nevyplýva priamo z podmienky spojitosti skúmanej funkcie, preto treba pridať podmienku diferencovateľnosti.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]